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문제 은행 · 기초 수학 · 중학 수학 · 방정식과 부등식

이차방정식

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax Intermediate Algebra · 9.2절 · 2번우리말 번역

완전제곱식을 이용하여 푸세요: x2+8x=48.{x}^{2}+8x=48.

영어 원문 보기

Solve by completing the square: x2+8x=48.{x}^{2}+8x=48.

정답·풀이 보기

1단계는 변수가 있는 항은 한쪽에, 상수항은 다른 쪽에 모으는 것이다. x 제곱 더하기 8x는 48과 같다는 이 방정식은 이미 변수가 있는 항이 모두 왼쪽에 있다. 최고차항의 계수가 1이므로 b는 8이다.

2단계에서는 완전제곱식을 만들기 위해 필요한 수인, b의 2분의 1의 제곱을 구한다. 이 값을 방정식의 양변에 더한다. 8의 절반을 구하여 제곱한다. 8의 2분의 1의 제곱은 16이므로 방정식의 양변에 모두 16을 더한다. 방정식은 x 제곱 더하기 8x 더하기 16은 48 더하기 16과 같다가 된다.

3단계에서는 완전제곱 삼항식을 인수분해하여 왼쪽을 이항식의 제곱으로 나타내고, 오른쪽은 항들을 더하여 간단히 한다. 왼쪽의 x 제곱 더하기 8x 더하기 16을 인수분해한다. 오른쪽에서는 48+16을 계산한다. 방정식은 x 더하기 4의 제곱이 64와 같다가 된다.

4단계는 제곱근의 성질을 이용하는 것이다. 방정식의 양변에 제곱근을 취하면 x 더하기 4는 64의 양의 제곱근 또는 음의 제곱근과 같다가 된다.

5단계에서는 근호를 간단히 한 다음 그 결과로 얻은 두 방정식을 푼다. x 더하기 4는 8 또는 −8과 같다. x 더하기 4가 8이면 x는 4이다. x 더하기 4가 −8이면 x는 −12이다.

마지막으로 6단계에서는 해를 확인한다. 각 답을 처음 방정식에 대입하여 확인한다. 먼저 x=4를 대입한다. 4의 제곱 더하기 8 곱하기 4가 48임을 보여야 한다. 간단히 한다. 식 4의 제곱 더하기 8 곱하기 4는 16 더하기 32, 즉 48과 같다. x=4는 해이다. 다음으로 처음 방정식 x 제곱 더하기 8x는 48과 같다에 x=−12를 대입한다. −12의 제곱 더하기 8 곱하기 −12는 144 빼기 96, 즉 48과 같다. x=−12도 해이다.

원본 교재 풀이(영어)

Step 1 is to isolate the variable terms on one side and the constant terms on the other. This equation, x squared plus 8 x equals 48 already has all variable terms on the left. Note that the leading coefficient is 1, so b equals 8.

In step 2, find the expression one half times b, squared, the number needed to complete the square. Add this value to both sides of the equation. Take half of 8 and square it. The square of one half times 8 equals 16, so add 16 to BOTH sides of the equation. The equation becomes x squared plus 8 x plus 16 equals 48 plus 16.

In step 3, factor the perfect square trinomial, writing it as a binomial squared on the left and simplify by adding the terms on the right. Factor x squared plus 8 x plus 16 on the left side. Add 48+16 on the right side. The equation becomes the square of x plus 4 equals 64.

Step 4 is to use the Square Root Property. Take the square root of both sides of the equation to yield x plus 4 equals the positive or negative square root of 64.

In step 5, simplify the radical and then solve the two resulting equations. X plus 4 equals positive 8 or negative 8. If x plus 4 equals 8, then x equals 4. If x plus 4 equals negative 8, then x equals negative 12.

Finally, step 6, check the solutions. Put each answer in the original equation to check. First substitute x equals 4. We need to show that 4 squared plus 8 times 4 equals 48. Simplify. The expression 4 squared plus 8 times 4 is equivalent to 16 plus 32, or 48. X equals 4 is a solution. Next substitute x equals negative 12 into the original equation, x squared plus 8 x equals 48. The square of negative 12 plus 8 times negative 12 equals 144 minus 96, or 48. X equals negative 12 is also a solution.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 9.2절 · 3번우리말 번역

완전제곱식을 이용하여 푸세요: x2+4x=−21.{x}^{2}+4x=-21.

다 풀었으면 정답 확인
두 개의 수학식이 흰 배경 위에 나타나 있다. 빨간색으로 쓴 일반적인 이차식 x² + bx + c와 검은색으로 쓴 구체적인 이차방정식 x² + 4x = -21이다.
변수가 있는 항이 좌변에 있다. 4의 절반을 구하여 제곱한다. 완전제곱식을 만드는 첫 단계를 나타낸 대수 방정식: x^2 + 4x + (빈 칸, 그 아래에 빨간색으로 쓴 (1/2 * 4)^2) = -21.
(12(4))2=4{\left(\frac{1}{2}(4)\right)}^{2}=4
양변에 4를 더한다. 양변에 4를 더하는 단계를 나타낸 방정식: x^2 + 4x + 4 = -21 + 4. x에 대해 풀기 위해 완전제곱식을 만드는 과정의 일부이다.
완전제곱 삼항식을 이항식의 제곱으로 인수분해한다. 이차방정식 (x + 2)^2 = -17이 나타나 있으며, 이 방정식은 실수해를 갖지 않는다.
제곱근의 성질을 이용한다. 흰 배경 위에 방정식 x + 2 = ±sqrt(-17)이 나타나 있다. 이 방정식에는 변수 x, 상수, 등호, 음수의 제곱근에 플러스마이너스 부호가 붙은 식이 있으며, 해가 복소수임을 나타낸다.
복소수를 이용하여 간단히 한다. x 더하기 2는 17의 제곱근 곱하기 i의 양수 또는 음수와 같다는 방정식이다. x의 해가 복소수임을 나타낸다.
양변에서 2를 뺀다. x에 대한 방정식 x = -2 ± sqrt(17)i가 나타나 있으며, 실수부와 허수부를 모두 가진 해를 보여 준다.
두 개의 해가 드러나도록 다시 쓴다. 켤레복소수인 두 근 x = -2 + sqrt(17)i 와 x = -2 - sqrt(17)i 가 나타나 있다.
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