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문제 은행 · 기초 수학 · 중학 수학 · 방정식과 부등식

이차방정식

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax Intermediate Algebra · 9.2절 · 8번우리말 번역

완전제곱식을 이용하여 푸세요: 3x2−12x−15=0.3{x}^{2}-12x-15=0.

영어 원문 보기

Solve by completing the square: 3x2−12x−15=0.3{x}^{2}-12x-15=0.

정답·풀이 보기

완전제곱식을 만들려면 x2{x}^{2}의 계수가 1이어야 한다. x2{x}^{2}의 계수를 공약수로 묶어 내면, 완전제곱식을 이용하여 방정식을 계속 풀 수 있다.
수학 방정식 3x^2 - 12x - 15 = 0이 쓰여 있다.
최대공약수로 묶는다. 수식 3(x^2 - 4x - 5) = 0이 나타나 있으며, 풀어야 할 이차방정식임을 보여 준다.
양변을 3으로 나누어 계수가 1인 삼항식만 남긴다. 수학 방정식 3(x^2 - 4x - 5) / 3 = 0 / 3이 나타나 있으며, 등식의 양변을 3으로 나누는 과정을 보여 준다.
간단히 한다. 회색조 이미지에 이차방정식 x^2 - 4x - 5 = 0이 나타나 있다. 방정식은 흰색 배경의 가운데에 놓여 있으며, 풀어야 할 수학 문제를 나타낸다.
양변에 5를 더하여 상수항을 우변으로 옮긴다. 흰색 배경에 'x의 제곱 빼기 4x는 5와 같다'를 나타내는 수학 방정식이 나타나 있다.
4의 절반을 제곱한다.
(12(−4))2=4{\left(\frac{1}{2}(-4)\right)}^{2}=4 x^2 - 4x에 분자가 빈칸이고 분모가 빨간색 (1/2 * 4)^2 항인 분수를 더한 식이 5와 같은 대수 방정식이다. 이차식을 완전제곱식으로 만드는 과정의 한 단계를 보여 준다.
양변에 4를 더한다. x^2 - 4x = 5의 양변에 4를 더하여 완전제곱식을 만드는 단계로, 결과는 x^2 - 4x + 4 = 5 + 4이다.
완전제곱 삼항식을 이항식의 제곱으로 나타내어 인수분해한다. 흰색 배경의 가운데에 대수 방정식 (x-2)^2 = 9가 나타나 있다.
제곱근의 성질을 이용한다. 흰색 배경에 수학 방정식 x - 2 = ±(9의 제곱근)가 나타나 있다. 이 방정식에는 변수, 산술 연산, 근호가 들어 있다.
x에 대해 푼다. 수학 방정식 'x - 2는 ±3과 같다'
두 해가 드러나도록 다시 쓴다. 쉼표로 구분된 두 개의 간단한 방정식 x = 2 + 3과 x = 2 - 3이 나타나 있다. 이 방정식들은 더하기와 빼기로 얻는 x의 두 가능한 값을 보여 준다.
간단히 한다. 흰색 배경에 두 개의 방정식 'x = 5,'와 'x = -1'이 나타나 있다.
확인: 이차방정식 3x² - 12x - 15 = 0에 대해 해 x=5와 x=-1을 확인하는 과정이다. 두 값을 대입하면 모두 0=0이 되므로 유효한 근임을 확인할 수 있다.
원본 교재 풀이(영어)

To complete the square, we need the coefficient of x2{x}^{2} to be one. If we factor out the coefficient of x2{x}^{2} as a common factor, we can continue with solving the equation by completing the square.
A mathematical equation reads 3x^2 - 12x - 15 = 0.
Factor out the greatest common factor. A mathematical equation is displayed with the expression 3(x^2 - 4x - 5) = 0, indicating a quadratic equation to be solved.
Divide both sides by 3 to isolate the trinomial with coefficient 1. A mathematical equation shown as 3(x^2 - 4x - 5) / 3 = 0 / 3, demonstrating division by 3 on both sides of the equation.
Simplify. A quadratic equation, x^2 - 4x - 5 = 0, is displayed in a grayscale image. The equation is centered against a white background, representing a mathematical problem to be solved.
Add 5 to get the constant terms on the right side. A mathematical equation is displayed, showing 'x squared minus 4x equals 5' in a white background.
Take half of 4 and square it.
(12(−4))2=4{\left(\frac{1}{2}(-4)\right)}^{2}=4 An algebraic equation showing x^2 - 4x plus a blank numerator over a red (1/2 * 4)^2 term, set equal to 5. This illustrates a step in completing the square for a quadratic expression.
Add 4 to both sides. A step in solving x^2 - 4x = 5 by adding 4 to both sides to complete the square, resulting in x^2 - 4x + 4 = 5 + 4.
Factor the perfect square trinomial, writing it as a binomial squared. The image displays the algebraic equation (x-2)^2 = 9, centered on a white background.
Use the Square Root Property. A mathematical equation is displayed on a white background: x - 2 = plus or minus the square root of 9. This equation involves a variable, arithmetic operations, and a radical expression.
Solve for x. A mathematical equation 'x - 2 equals plus or minus 3'
Rewrite to show two solutions. The image displays two simple mathematical equations: x = 2 + 3 and x = 2 - 3, separated by a comma. These equations show two possible values for x, one from addition and one from subtraction.
Simplify. Two mathematical equations are displayed against a white background: 'x = 5,' and 'x = -1'.
Check: Checking the solutions x=5 and x=-1 for the quadratic equation 3x² - 12x - 15 = 0. Both substitutions correctly result in 0=0, confirming they are valid roots.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Elementary Algebra · 10.1절 · 23번우리말 번역

푸세요: x2−6x+9=12{x}^{2}-6x+9=12.

답 쓰고 채점
다 풀었으면 정답 확인

x=3+23,x=3−23x=3+2\sqrt{3},x=3-2\sqrt{3}

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