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문제 은행 · 기초 수학 · 공통수학1 · 방정식과 부등식

이차방정식의 판별식과 근과 계수의 관계

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax Intermediate Algebra · 9.3절 · 1번우리말 번역

근의 공식을 이용하여 푸세요: 2x2+9x−5=0.2{x}^{2}+9x-5=0.

영어 원문 보기

Solve by using the Quadratic Formula: 2x2+9x−5=0.2{x}^{2}+9x-5=0.

정답·풀이 보기

1단계는 이차방정식을 일반형 a 곱하기 x 제곱 더하기 b x 더하기 c는 0의 꼴로 나타내고, a, b, c의 값을 찾는 것이다. 방정식 2 x 제곱 더하기 9 x 빼기 5는 0은 이미 일반형이다. a는 2, b는 9, c는 음의 5이다.

2단계. 근의 공식을 쓴다. 그런 다음 a, b, c의 값을 대입한다. x는 분모가 2 a이고 분자가 음의 b 플러스 마이너스 b 제곱 빼기 4 a c의 제곱근인 분수와 같다는 식에 a는 2, b는 9, c는 음의 5를 대입한다. 그러면 x는 분모가 2 곱하기 2이고 분자가 음의 9 플러스 마이너스 9 제곱 빼기 4 곱하기 2 곱하기 음의 5의 제곱근인 분수와 같다.

3단계에서는 분수를 간단히 하고 x를 구한다. x는 분모가 4이고 분자가 음의 9 플러스 마이너스 81 빼기 음의 40의 제곱근인 분수와 같다. 근호 안을 간단히 한다. x는 분모가 4이고 분자가 음의 9 플러스 마이너스 121의 제곱근인 분수와 같다. 제곱근을 간단히 한다. x는 분모가 4이고 분자가 음의 9 플러스 마이너스 11인 분수와 같다. 이것을 두 개의 방정식으로 나눈다. 첫 번째 방정식은 x는 분모가 4이고 분자가 음의 9 더하기 11인 분수와 같고, 이는 4분의 2로 간단히 된다. 첫 번째 해는 x는 2분의 1과 같다. 두 번째 방정식은 x는 분모가 4이고 분자가 음의 9 빼기 11인 분수와 같고, 이는 4분의 음의 20으로 간단히 된다. 두 번째 해는 x는 음의 5이다.

네 번째이자 마지막 단계는 해를 검산하는 것이다. 각 답을 처음 방정식에 넣어 확인한다. 먼저 x는 2분의 1을 처음 방정식 2 x 제곱 더하기 9 x 빼기 5는 0에 대입한다. 그러면 2 곱하기 2분의 1의 제곱 더하기 9 곱하기 2분의 1 빼기 5가 된다. 이 식이 0과 같음을 보여야 한다. 제곱을 계산한다. 2 곱하기 4분의 1 더하기 9 곱하기 2분의 1 빼기 5는 2분의 1 더하기 2분의 9 빼기 5, 즉 2분의 10 빼기 5와 같다. 5 빼기 5는 0이므로 x는 2분의 1은 실제로 해이다. 다음으로 x = 음의 5를 방정식 2 x 제곱 더하기 9 x 빼기 5는 0에 대입한다. 그러면 2 곱하기 음의 5의 제곱 더하기 9 곱하기 음의 5 빼기 5가 된다. 이 식이 0과 같음을 보여야 한다. 제곱을 계산한다. 2 곱하기 25 더하기 9 곱하기 음의 5 빼기 5는 50 빼기 45 빼기 5, 즉 0과 같다. x는 음의 5도 해이다.

원본 교재 풀이(영어)

Step 1 is to write the quadratic equation in standard form, a times x squared plus b x plus c equals zero, and identify the values a, b, and c. The equation 2 x squared plus 9 x minus 5 equals zero is in standard form. A equals 2, b equals 9, and c equals negative 5.

Step 2. Write the quadratic formula. Then substitute the values of a, b, and c. Substitute a equals 2, b equals 9, and c equals negative 5 into the equation x equals the quotient negative b plus or minus the square root of the difference b squared minus 4 a c divided by 2 a. So x equals the quotient negative 9 plus or minus the square root of the difference 9 squared minus the product 4 times 2 times negative 5 divided by the product 2 times 2.

In step 3, simplify the fraction and solve for x. x equals the quotient negative 9 plus or minus the square root of the difference 81 minus negative 40 divided by 4. Simplify the radicand. x equals the quotient negative 9 plus or minus the square root of 121 divided by 4. Simplify the square root. x equals the quotient negative 9 plus or minus 11 divided by 4. Separate into two equations. The first equation is x equals the quotient negative 9 plus 11 divided by 4 which simplifies to 2 divided by 4. The first solution is x equals one half. The second equation is x equals the quotient negative 9 minus 11 divided by 4 which simplifies to negative 20 divided by 4. The second solution is x equals negative 5.

The fourth, and final, step is to check the solution. Put each answer into the original equation to check. First, substitute x equals one half into the original equation, 2 x squared plus 9 x minus 5 equals 0. This yields 2 times the square of one half plus nine times one half minus 5. We need to show that this expression equals 0. Simplify the square. 2 times one fourth plus nine times one half minus 5 equals one half plus 9 halves minus 5, or 10 halves minus 5. 5 minus 5 equals 0, so x equals one half is indeed a solution. Next substitute x = negative 5 into the equation 2 x squared plus 9 x minus 5 equals 0. This yields 2 times the square of negative 5 plus 9 times negative 5 minus 5. We need to show that this expression equals 0. Simplify the square. 2 times 25 plus nine times negative 5 minus 5 equals 50 minus 45 minus 5, or 0. x equals negative 5 is a solution as well.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 9.3절 · 3번우리말 번역

근의 공식을 이용하여 푸세요: 2x2+10x+11=0.2{x}^{2}+10x+11=0.

다 풀었으면 정답 확인
이차방정식 '2x^2 + 10x + 11 = 0'이 나타나 있다.
이 방정식은 일반형이다. 이차방정식의 일반형 ax^2 + bx + c = 0 이 위에 있고, 그 아래에 구체적인 예 2x^2 + 10x + 11 = 0 이 나타나 있다.
a, b, c 의 값을 찾는다. 세 변수의 값 a = 2, b = 10, c = 11 이 가로로 한 줄로 쓰여 있으며, 각 변수와 그 값은 서로 다른 색으로 표시되어 있다.
근의 공식을 쓴다. 이차방정식을 풀 때 쓰는, 변수 x에 대한 근의 공식이 나타나 있다. x는 −b 더하기 또는 빼기 b의 제곱 빼기 4ac의 제곱근을 2a로 나눈 것과 같다.
그다음 a, b, c 의 값을 대입한다. 값을 대입한 근의 공식이 나타나 있다: x = (- (10) +/- sqrt((10)^2 - 4 * 2 * (11))) / (2 * 2). 숫자 10, 2, 11은 각각 빨간색, 청록색, 노란색으로 표시되어 있다.
간단히 한다. 근의 공식 계산 과정으로, x는 −10 더하기 또는 빼기 100 빼기 88의 제곱근을 4로 나눈 것과 같다.
x는 분자가 −10 더하기 또는 빼기 12의 제곱근이고 분모가 4인 분수와 같다는 방정식이 나타나 있다. 이것은 근의 공식에서 흔히 거치는 단계이다.
근호를 간단히 한다. x는 분자가 −10 더하기 또는 빼기 2 곱하기 3의 제곱근이고 분모가 4인 분수와 같다는 방정식이 나타나 있다.
분자의 공통인수로 묶는다. x는 2 곱하기 (−5 더하기 또는 빼기 3의 제곱근)을 4로 나눈 분수와 같다는 방정식이 흰 배경 위에 나타나 있다.
공통인수를 약분한다. x는 −5 더하기 또는 빼기 3의 제곱근을 2로 나눈 것과 같다는 방정식이 나타나 있다.
두 개의 해가 드러나도록 다시 쓴다. x에 대한 두 식이 나타나 있다. 첫째는 x = (-5 + sqrt(3))/2 이고 둘째는 x = (-5 - sqrt(3))/2 이며, 이차방정식의 해를 나타낸다.
검산: 검산은 직접 해 보자!
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