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문제 은행 · 기초 수학 · 공통수학1 · 방정식과 부등식

이차방정식의 판별식과 근과 계수의 관계

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax Intermediate Algebra · 9.3절 · 8번우리말 번역

각 이차방정식의 해의 개수를 구하세요.

ⓐ 3x2+7x−9=03{x}^{2}+7x-9=0 ⓑ 5n2+n+4=05{n}^{2}+n+4=0 ⓒ 9y2−6y+1=0.9{y}^{2}-6y+1=0.

영어 원문 보기

Determine the number of solutions to each quadratic equation.

ⓐ 3x2+7x−9=03{x}^{2}+7x-9=0 ⓑ 5n2+n+4=05{n}^{2}+n+4=0 ⓒ 9y2−6y+1=0.9{y}^{2}-6y+1=0.

정답·풀이 보기

각 이차방정식의 해의 개수를 구하기 위해 판별식을 살펴본다.

ⓐ
3x2+7x−9=03{x}^{2}+7x-9=0
방정식이 일반형이므로 a, b, c를 찾는다. a=3, b=7, c=−9a=3,\,b=7,\,c=-9
판별식을 쓴다. b2−4ac{b}^{2}-4ac
a, b, c의 값을 대입한다. (7)2−4⋅3⋅(−9){(7)}^{2}-4\cdot 3\cdot (-9)
간단히 한다. 49+10849+108
157157

판별식이 양수이므로 이 방정식의 실수해는 2개이다.

ⓑ
5n2+n+4=05{n}^{2}+n+4=0
방정식이 일반형이므로 a, b, c를 찾는다. a=5, b=1, c=4a=5,\,b=1,\,c=4
판별식을 쓴다. b2−4ac{b}^{2}-4ac
a, b, c의 값을 대입한다. (1)2−4⋅5⋅4{(1)}^{2}-4\cdot 5\cdot 4
간단히 한다. 1−801-80
−79-79

판별식이 음수이므로 이 방정식의 복소수 해는 2개이다.

ⓒ
9y2−6y+1=09{y}^{2}-6y+1=0
방정식이 일반형이므로 a, b, c를 찾는다. a=9,b=−6,c=1a=9,b=-6,c=1
판별식을 쓴다. b2−4ac{b}^{2}-4ac
a, b, c의 값을 대입한다. (−6)2−4⋅9⋅1{(-6)}^{2}-4\cdot 9\cdot 1
간단히 한다. 36−3636-36
00

판별식이 0이므로 이 방정식의 실수해는 1개이다.

원본 교재 풀이(영어)

To determine the number of solutions of each quadratic equation, we will look at its discriminant.

ⓐ
3x2+7x−9=03{x}^{2}+7x-9=0
The equation is in standard form, identify a, b, and c. a=3, b=7, c=−9a=3,\,b=7,\,c=-9
Write the discriminant. b2−4ac{b}^{2}-4ac
Substitute in the values of a, b, and c. (7)2−4⋅3⋅(−9){(7)}^{2}-4\cdot 3\cdot (-9)
Simplify. 49+10849+108
157157

Since the discriminant is positive, there are 2 real solutions to the equation.

ⓑ
5n2+n+4=05{n}^{2}+n+4=0
The equation is in standard form, identify a, b, and c. a=5, b=1, c=4a=5,\,b=1,\,c=4
Write the discriminant. b2−4ac{b}^{2}-4ac
Substitute in the values of a, b, and c. (1)2−4⋅5⋅4{(1)}^{2}-4\cdot 5\cdot 4
Simplify. 1−801-80
−79-79

Since the discriminant is negative, there are 2 complex solutions to the equation.

ⓒ
9y2−6y+1=09{y}^{2}-6y+1=0
The equation is in standard form, identify a, b, and c. a=9,b=−6,c=1a=9,b=-6,c=1
Write the discriminant. b2−4ac{b}^{2}-4ac
Substitute in the values of a, b, and c. (−6)2−4⋅9⋅1{(-6)}^{2}-4\cdot 9\cdot 1
Simplify. 36−3636-36
00

Since the discriminant is 0, there is 1 real solution to the equation.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 9.3절 · 1번우리말 번역

근의 공식을 이용하여 푸세요: 2x2+9x−5=0.2{x}^{2}+9x-5=0.

다 풀었으면 정답 확인

1단계는 이차방정식을 일반형 a 곱하기 x 제곱 더하기 b x 더하기 c는 0의 꼴로 나타내고, a, b, c의 값을 찾는 것이다. 방정식 2 x 제곱 더하기 9 x 빼기 5는 0은 이미 일반형이다. a는 2, b는 9, c는 음의 5이다.

2단계. 근의 공식을 쓴다. 그런 다음 a, b, c의 값을 대입한다. x는 분모가 2 a이고 분자가 음의 b 플러스 마이너스 b 제곱 빼기 4 a c의 제곱근인 분수와 같다는 식에 a는 2, b는 9, c는 음의 5를 대입한다. 그러면 x는 분모가 2 곱하기 2이고 분자가 음의 9 플러스 마이너스 9 제곱 빼기 4 곱하기 2 곱하기 음의 5의 제곱근인 분수와 같다.

3단계에서는 분수를 간단히 하고 x를 구한다. x는 분모가 4이고 분자가 음의 9 플러스 마이너스 81 빼기 음의 40의 제곱근인 분수와 같다. 근호 안을 간단히 한다. x는 분모가 4이고 분자가 음의 9 플러스 마이너스 121의 제곱근인 분수와 같다. 제곱근을 간단히 한다. x는 분모가 4이고 분자가 음의 9 플러스 마이너스 11인 분수와 같다. 이것을 두 개의 방정식으로 나눈다. 첫 번째 방정식은 x는 분모가 4이고 분자가 음의 9 더하기 11인 분수와 같고, 이는 4분의 2로 간단히 된다. 첫 번째 해는 x는 2분의 1과 같다. 두 번째 방정식은 x는 분모가 4이고 분자가 음의 9 빼기 11인 분수와 같고, 이는 4분의 음의 20으로 간단히 된다. 두 번째 해는 x는 음의 5이다.

네 번째이자 마지막 단계는 해를 검산하는 것이다. 각 답을 처음 방정식에 넣어 확인한다. 먼저 x는 2분의 1을 처음 방정식 2 x 제곱 더하기 9 x 빼기 5는 0에 대입한다. 그러면 2 곱하기 2분의 1의 제곱 더하기 9 곱하기 2분의 1 빼기 5가 된다. 이 식이 0과 같음을 보여야 한다. 제곱을 계산한다. 2 곱하기 4분의 1 더하기 9 곱하기 2분의 1 빼기 5는 2분의 1 더하기 2분의 9 빼기 5, 즉 2분의 10 빼기 5와 같다. 5 빼기 5는 0이므로 x는 2분의 1은 실제로 해이다. 다음으로 x = 음의 5를 방정식 2 x 제곱 더하기 9 x 빼기 5는 0에 대입한다. 그러면 2 곱하기 음의 5의 제곱 더하기 9 곱하기 음의 5 빼기 5가 된다. 이 식이 0과 같음을 보여야 한다. 제곱을 계산한다. 2 곱하기 25 더하기 9 곱하기 음의 5 빼기 5는 50 빼기 45 빼기 5, 즉 0과 같다. x는 음의 5도 해이다.

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