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문제 은행 · 기초 수학 · 공통수학1 · 방정식과 부등식

이차함수의 최대·최소

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax Intermediate Algebra · 9.6절 · 11번우리말 번역

이차방정식 h(t) = −16t2 + 176t + 4 는 높이 4피트에서 속도 176피트/초로 곧장 위로 친 배구공의 높이를 나타낸다.

ⓐ 배구공이 최고 높이에 도달하는 데 몇 초가 걸리나요? ⓑ 배구공의 최고 높이를 구하세요.

영어 원문 보기

The quadratic equation h(t) = −16t2 + 176t + 4 models the height of a volleyball hit straight upwards with velocity 176 feet per second from a height of 4 feet.

ⓐ How many seconds will it take the volleyball to reach its maximum height? ⓑ Find the maximum height of the volleyball.

정답·풀이 보기
h(t)=−16t2+176t+4\begin{array}{c}h(t)=-16{t}^{2}+176t+4\end{array}
a가 음수이므로 포물선은 위로 볼록하다.
이차함수는 최댓값을 갖는다.

ⓐ
대칭축의 방정식을 구한다. t=−b2at=−1762(−16)t=5.5\begin{array}{ccc} \\ \\ t & = & -\frac{b}{2a} \\ t & = & -\frac{176}{2(-16)} \\ t & = & 5.5\end{array}
대칭축의 방정식은 t=5.5t=5.5이다.
꼭짓점은 직선 t=5.5t=5.5 위에 있다. 최댓값은 t=5.5t=5.5초일 때 나타난다.

ⓑ
h(5.5)h(5.5)의 값을 구한다. 계산기를 사용하여 간단히 한다. h(t)=−16t2+176t+4h(t)=−16(5.5)2+176(5.5)+4h(t)=488\begin{array}{ccc} \\ h(t) & = & -16{t}^{2}+176t+4 \\ h(t) & = & -16{(5.5)}^{2}+176(5.5)+4 \\ h(t) & = & 488\end{array}
꼭짓점은 (5.5,488)(5.5,488)이다.

포물선이 최댓값을 가지므로 꼭짓점의 h좌표가 이차함수의 최댓값이다.

이차함수의 최댓값은 488피트이고, 이는 t = 5.5초일 때 나타난다.

5.5초 후에 배구공은 최고 높이 488피트에 도달한다.

원본 교재 풀이(영어)
h(t)=−16t2+176t+4\begin{array}{c}h(t)=-16{t}^{2}+176t+4\end{array}
Since a is negative, the parabola opens downward.
The quadratic function has a maximum.

ⓐ
Find the equation of the axis of symmetry. t=−b2at=−1762(−16)t=5.5\begin{array}{ccc} \\ \\ t & = & -\frac{b}{2a} \\ t & = & -\frac{176}{2(-16)} \\ t & = & 5.5\end{array}
The equation of the axis of symmetry is t=5.5.t=5.5.
The vertex is on the line t=5.5.t=5.5. The maximum occurs when t=5.5t=5.5 seconds.

ⓑ
Find h(5.5).h(5.5). Use a calculator to simplify. h(t)=−16t2+176t+4h(t)=−16(5.5)2+176(5.5)+4h(t)=488\begin{array}{ccc} \\ h(t) & = & -16{t}^{2}+176t+4 \\ h(t) & = & -16{(5.5)}^{2}+176(5.5)+4 \\ h(t) & = & 488\end{array}
The vertex is (5.5,488).(5.5,488).

Since the parabola has a maximum, the h-coordinate of the vertex is the maximum value of the quadratic function.

The maximum value of the quadratic is 488 feet and it occurs when t = 5.5 seconds.

After 5.5 seconds, the volleyball will reach its maximum height of 488 feet.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 9.6절 · 10번우리말 번역

이차함수 f(x)=x2+2x−8f(x)={x}^{2}+2x-8 의 최솟값 또는 최댓값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인
흰 배경에 'f(x) = x^2 + 2x - 8' 이라는 수학 방정식이 표시되어 있다.
a 가 양수이므로 포물선은 위로 열린다. 이 이차방정식은 최솟값을 갖는다.
대칭축의 방정식을 구한다. 수식: x = -b/2a, 포물선의 대칭축 또는 꼭짓점의 x좌표를 나타낸다.
x = -2 / (2 * 1) 이라는 수학 방정식이 나타난 이미지로, x를 구하는 과정의 한 단계이며 분자는 -2, 분모는 2와 1의 곱이다.
흰 배경의 왼쪽 위에 검은색으로 'X = -1' 이라는 방정식이 쓰여 있다.
대칭축의 방정식은 x=−1x=-1 이다.
꼭짓점은 직선 x=−1x=-1 위에 있다. 흰 배경에 함수 f(x) = x^2 + 2x - 8 을 나타내는 수학 방정식이 표시되어 있다. 글자는 짙은 회색 또는 검은색이다.
f(−1)f(-1) 을 구한다. x=-1 에서 함수 f(x) 의 값을 구하는 수학 방정식으로, f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 8 이라는 식을 보여 준다. 대입한 수 -1 은 강조하기 위해 빨간색으로 표시되어 있다.
f(-1) 이 1 빼기 2 빼기 8 과 같음을 나타내는 수식이 흰 배경에 검은 글씨로 표시되어 있다.
흰 배경에 수학 방정식 f(-1) = -9 가 표시되어 있다.
꼭짓점은 (−1,−9)(-1,-9) 이다.
포물선이 최솟값을 가지므로 꼭짓점의 y좌표가 이차방정식의 y값 중 최솟값이다. 이차식의 최솟값은 −9-9 이고, x=−1x=-1 일 때 나타난다.
위로 열린 포물선의 그래프로, 꼭짓점은 (-1, -9) 이다. x = -1 에 있는 점선 형태의 세로 직선은 대칭축을 나타낸다. x축과 y축의 범위는 모두 -9에서 9까지이다.
그래프를 그려 결과를 확인한다.
이 문제로 이어서 풀기
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