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이차함수와 그래프

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OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 8번우리말 번역

변환을 이용하여 f(x)=x2+6x+5f(x)={x}^{2}+6x+5 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Graph f(x)=x2+6x+5f(x)={x}^{2}+6x+5 by using transformations.

정답·풀이 보기

1단계. 완전제곱식을 만들어 함수를 f(x)=a(x−h)2+kf(x)=a{(x-h)}^{2}+k 꼴인 꼭짓점 꼴로 고쳐 쓴다.
이차함수 f(x) = x^2 + 6x + 5 를 나타낸 수학 등식이 표시되어 있다. 이 함수는 변수와 계수를 사용한 일반적인 대수 표기법으로 쓰여 있다.
x 항과 상수항을 분리한다. 이차함수 f(x) = x^2 + 6x + 5 를 나타낸 수학 등식이 표시되어 있다. 이 등식은 흰 배경에 검은 글씨로 나타나 있으며, 일반적인 대수식의 모양이다.
완전제곱식을 만들기 위해 6의 절반을 구한 다음 제곱한다. (12⋅6)2=9{\left(\frac{1}{2}\cdot 6\right)}^{2}=9
함수의 값이 변하지 않도록 9를 더하고 9를 뺀다. f(x) 에 대한 수학 등식이 f(x) = x^2 + 6x + 9 + 5 - 9 로 나타나 있고, +9 와 -9 가 빨간색으로 강조되어 있다.
삼항식을 제곱식으로 고쳐 쓰고 상수끼리 계산한다. 흰 배경에 수학 등식 f(x) = (x + 3)^2 - 4 가 표시되어 있다. 이것은 꼭짓점 꼴로 나타낸 이차함수이다.
이제 함수는 f(x)=(x−h)2+kf(x)={(x-h)}^{2}+k 꼴이 되었다. 두 개의 수학 등식이 표시되어 있다. 하나는 포물선의 일반적인 꼭짓점 꼴 f(x) = (x - h)^2 + k 로 빨간색이고, 다른 하나는 구체적인 예인 f(x) = (x + 3)^2 - 4 로 검은색이다.

2단계: 변환을 이용하여 함수의 그래프를 그린다.

h, k 의 값을 보면, f(x)=x2f(x)={x}^{2} 의 그래프를 왼쪽으로 3만큼, 아래쪽으로 4만큼 평행이동한 그래프임을 알 수 있다.

f(x)는 x의 제곱과 같다는 식에서 화살표가 나와 f(x)는 x+3의 제곱과 같다는 식을 가리키고, 여기서 다시 화살표가 나와 f(x)는 x+3의 제곱에서 4를 뺀 것과 같다는 식을 가리킨다. 그다음 줄에는 h는 -3과 같고 이는 왼쪽으로 3만큼 이동한다는 뜻이며, k는 -4와 같고 이는 아래쪽으로 4만큼 이동한다는 뜻이라고 쓰여 있다.

먼저 격자 위에 f(x)=x2f(x)={x}^{2} 의 그래프를 그린다.

f(x)가 x+3의 제곱과 같은 함수의 그래프를 그리려면, f(x)가 x의 제곱과 같은 함수의 그래프를 왼쪽으로 3만큼 이동한다. f(x)가 x+3의 제곱에서 4를 뺀 것과 같은 함수의 그래프를 그리려면, x+3의 제곱의 그래프를 아래쪽으로 4만큼 이동한다.

첫 번째 그래프는 xy 좌표평면 위에 아래로 볼록한(위로 열린) 포물선 하나를 보여 준다. 이것은 꼭짓점이 (0, 0)인 f(x)는 x의 제곱과 같은 함수의 그래프이다. 곡선 위의 다른 점으로는 (-1, 1)과 (1, 1)이 있다. f(x)는 x의 제곱과 같은 함수의 그래프를 왼쪽으로 3만큼 이동하면 다음 그래프가 되는데, 이 그래프에는 원래의 f(x)는 x의 제곱과 같은 함수의 그래프와 함께 왼쪽으로 3만큼 이동하여 f(x)는 x+3의 제곱과 같은 함수가 된 또 하나의 곡선이 나타나 있다. f(x)는 x+3의 제곱과 같은 함수의 그래프를 아래쪽으로 2만큼 이동하면 마지막 그래프가 되는데, 이 그래프에는 원래의 f(x)는 x의 제곱과 같은 함수의 그래프, f(x)는 x+3의 제곱과 같은 함수의 그래프, 그리고 아래쪽으로 4만큼 이동하여 f(x)는 x+1의 제곱에서 4를 뺀 것과 같은 함수가 된 또 하나의 곡선이 나타나 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Step 1. Rewrite the function in f(x)=a(x−h)2+kf(x)=a{(x-h)}^{2}+k vertex form by completing the square.
A mathematical equation is displayed, showing a quadratic function: f(x) = x^2 + 6x + 5. The function is written in a standard algebraic notation with variables and coefficients.
Separate the x terms from the constant. A mathematical equation is displayed, showing a quadratic function: f(x) = x^2 + 6x + 5. The equation is rendered in black text on a white background, appearing as a standard algebraic expression.
Take half of 6 and then square it to complete the square. (12⋅6)2=9{\left(\frac{1}{2}\cdot 6\right)}^{2}=9
We both add 9 and subtract 9 to not change the value of the function. A mathematical equation for f(x) is shown as f(x) = x^2 + 6x + 9 + 5 - 9, with the numbers +9 and -9 highlighted in red.
Rewrite the trinomial as a square and subtract the constants. A mathematical equation is displayed on a white background: f(x) = (x + 3)^2 - 4. This represents a quadratic function in vertex form.
The function is now in the f(x)=(x−h)2+kf(x)={(x-h)}^{2}+k form. Two mathematical equations are displayed: the general vertex form of a parabola, f(x) = (x - h)^2 + k, in red, and a specific instance, f(x) = (x + 3)^2 - 4, in black.

Step 2: Graph the function using transformations.

Looking at the h, k values, we see the graph will take the graph of f(x)=x2f(x)={x}^{2} and shift it to the left 3 units and down 4 units.

F of x equals x squared is given with an arrow coming from it pointing to f of x equals the quantity x plus 3 squared with an arrow coming from it pointing to f of x equals the quantity x plus 3 squared minus 4. The next lines say h equals negative 3 which means shift left 3 unit and k equals negative 4 which means shift down 4 units

We first draw the graph of f(x)=x2f(x)={x}^{2} on the grid.

To graph f of x equals the quantity x plus 3 squared, shift the graph of f of x equals x squares to the left 3 units. To graph f of x equals the quantity x plus 3 squared minus 4, shift the graph the quantity x plus 3 squared down 4 units.

The first graph shows 1 upward-opening parabola on the x y-coordinate plane. It is the graph of f of x equals x squared which has a vertex of (0, 0). Other points on the curve are located at (negative 1, 1) and (1, 1). By shifting that graph of f of x equals x squared left 3, we move to the next graph, which shows the original f of x equals x squared and then another curve moved left 3 units to produce f of x equals the quantity of x plus 3 squared. By moving f of x equals the quantity of x plus 3 squared down 2, we move to the final graph, which shows the original f of x equals x squared and the f of x equals the quantity of x plus 3 squared, then another curve moved down 4 to produce f of x equals the quantity of x plus 1 squared minus 4.

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