빌드라인 스쿨

문제 은행 · 기초 수학 · 중학 수학 · 함수

이차함수와 그래프

이차함수의 꼭짓점·축·평행이동과 표준형 y=a(x-p)²+q 를 다룬다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

369문제 · 1 / 19쪽

1.OpenStax Intermediate Algebra · 9.6절 · 11번우리말 풀이

이차함수 f(x)=−x2+2x+5f(x)=-x^2+2x+5 의 그래프에 대하여 ⓐ 대칭축의 방정식과 ⓑ 꼭짓점의 좌표를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the Axis of Symmetry and Vertex of a Parabola

In the following functions, find ⓐ the equation of the axis of symmetry and ⓑ the vertex of its graph.

f(x)=−x2+2x+5f(x)=-{x}^{2}+2x+5

답 쓰고 채점
ⓐ
ⓑ
풀이 보기

y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c 의 대칭축은 x=−b2ax=-\dfrac{b}{2a} 이고, 꼭짓점의 yy 좌표는 그 xx 를 함수에 넣어 구해요.

  1. 1

    a,ba,b 를 읽어요. a=−1, b=2a=-1,\ b=2 예요.

  2. 2

    ⓐ 대칭축을 구해요. x=−22⋅(−1)=1x=-\dfrac{2}{2\cdot(-1)}=1 이에요.

  3. 3

    ⓑ 꼭짓점의 yy 좌표를 구해요. f(1)=−1+2+5=6f(1)=-1+2+5=6 이니까 꼭짓점은 (1,6)(1,6) 이에요.

  4. 4

    확인해요. f(x)=−(x−1)2+6f(x)=-(x-1)^2+6 으로 고쳐 써도 같은 꼭짓점 (1,6)(1,6) 이 나오고, a<0a<0 이라 위로 볼록한 포물선이에요.

답

ⓐ x=1x=1 ⓑ (1, 6)(1,\,6)

자주 하는 실수

x=−b2ax=-\dfrac{b}{2a} 에서 분모의 a=−1a=-1 의 부호를 놓쳐 x=−1x=-1 이라고 쓰는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

ⓐ x=1x=1; ⓑ (1,6)(1,6)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 53번
# 이차함수와 그래프계산보통
2.OpenStax Algebra and Trigonometry · 5.1절 · 29번우리말 풀이

꼭짓점이 (h,k)=(2,3)(h,k)=(2,3) 이고 점 (x,y)=(5,12)(x,y)=(5,12) 를 지나는 이차함수의 식을 일반형 f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c 로 구하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, use the vertex (h,k)(h,k) and a point on the graph (x,y)(x,y) to find the general form of the equation of the quadratic function.

(h,k)=(2,3),(x,y)=(5,12)(h,k)=(2,3),(x,y)=(5,12)

답 쓰고 채점
풀이 보기

꼭짓점을 알면 f(x)=a(x−h)2+kf(x)=a(x-h)^2+k 로 두고, 지나는 점으로 aa 를 정한 뒤 전개해요.

  1. 1

    꼭짓점 꼴로 세워요. f(x)=a(x−2)2+3f(x)=a(x-2)^2+3 이에요.

  2. 2

    aa 를 구해요. 점 (5,12)(5,12) 를 넣으면 12=a(5−2)2+3=9a+312=a(5-2)^2+3=9a+3 이므로 9a=99a=9, a=1a=1 이에요.

  3. 3

    전개해서 일반형으로 써요. f(x)=(x−2)2+3=x2−4x+4+3=x2−4x+7f(x)=(x-2)^2+3=x^2-4x+4+3=x^2-4x+7 이에요.

  4. 4

    확인해요. f(5)=25−20+7=12f(5)=25-20+7=12 로 맞고, f(2)=4−8+7=3f(2)=4-8+7=3 이라 꼭짓점도 맞아요.

답

f(x)=x2−4x+7f(x)=x^2-4x+7

자주 하는 실수

꼭짓점 꼴 a(x−h)2+ka(x-h)^2+k 에서 hh 의 부호를 거꾸로 써서 (x+2)2(x+2)^2 라고 하는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

f(x)=x2−4x+7f(x)={x}^{2}-4x+7

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 9.6절 · 11번
# 이차함수와 그래프계산보통
3.OpenStax Elementary Algebra · 10.5절 · 1번우리말 번역

점을 찍어 방정식 y=3x−5y=3x-5 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Graph the equation y=3x−5y=3x-5 by plotting points.

정답·풀이 보기

좌표평면 위에 기울기가 양수인 직선이 그려져 있다. 이 직선은 대략 (0, -5), (1, -2), (2, 1), (3, 4)를 지난다.

원본 교재 풀이(영어)

A graph shows a straight line with a positive slope in a Cartesian coordinate system. The line passes through approximately (0, -5), (1, -2), (2, 1), and (3, 4).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 9.6절 · 41번
# 이차함수와 그래프그래프·표 해석자동 분류
4.OpenStax Elementary Algebra · 10.5절 · 2번우리말 번역

x=−3x=-3 일 때 2x2+4x−12{x}^{2}+4x-1 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate 2x2+4x−12{x}^{2}+4x-1 when x=−3x=-3.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

55

원본 교재 풀이(영어)

55

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 5.1절 · 35번
# 이차함수와 그래프계산자동 분류
5.OpenStax Elementary Algebra · 10.5절 · 3번우리말 번역

a=13a=\frac{1}{3} 이고 b=56b=\frac{5}{6} 일 때, −b2a-\frac{b}{2a} 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate −b2a-\frac{b}{2a} when a=13a=\frac{1}{3} and b=56b=\frac{5}{6}.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

−54-\frac{5}{4}

원본 교재 풀이(영어)

−54-\frac{5}{4}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 9.6절 · 18번
# 이차함수와 그래프계산자동 분류
6.OpenStax Elementary Algebra · 10.5절 · 1번우리말 번역

y=x2−1y={x}^{2}-1 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Graph y=x2−1y={x}^{2}-1.

정답·풀이 보기

점을 찍어 방정식의 그래프를 그린다.
x 에 알맞은 정수 값을 고르고, 방정식에 대입하여 y 에 대해 푼다.
순서쌍의 값을 표에 기록한다. 이 표는 포물선 y = x^2 - 1 위의 점들을 보여 주며, 꼭짓점 (0, -1)과 x절편 (1, 0), (-1, 0)을 포함한다.
점을 찍은 다음 매끄러운 곡선으로 연결한다. 그 결과가 방정식 y=x2−1y={x}^{2}-1 의 그래프이다. 좌표평면 위에 위로 열린 포물선이 그려져 있으며, 꼭짓점은 (0,-1)이고 y축에 대칭이다. 이는 이차함수를 나타낸다.
원본 교재 풀이(영어)

We will graph the equation by plotting points.
Choose integers values for x, substitute them into the equation and solve for y.
Record the values of the ordered pairs in the chart. This table illustrates points for the parabola y = x^2 - 1, including its vertex (0, -1) and x-intercepts (1, 0) and (-1, 0).
Plot the points, and then connect them with a smooth curve. The result will be the graph of the equationy=x2−1y={x}^{2}-1. An upward-opening parabola is plotted on a coordinate plane, with its vertex at (0,-1) and symmetric about the y-axis, indicating a quadratic function.
한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 29번
# 이차함수와 그래프그래프·표 해석자동 분류
7.OpenStax Elementary Algebra · 10.5절 · 1번우리말 번역

y=−x2y=-{x}^{2} 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Graph y=−x2y=-{x}^{2}.

정답·풀이 보기

이 그림은 x y 좌표평면 위에 그려진, 아래로 열린 U자 모양의 곡선을 보여 준다. 좌표평면의 x축은 -10부터 10까지이고, y축도 -10부터 10까지이다. 곡선에서 가장 높은 점은 (0, 0)이다. 곡선 위의 다른 점으로는 (-2, -4), (-1, -1), (1, -1), (2, -4)가 있다.

원본 교재 풀이(영어)

This figure shows a downward-opening u shaped curve graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The y-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The highest point on the curve is at the point (0, 0). Other points on the curve are located at (-2, -4), (-1, -1), (1, -1) and (2, -4).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Elementary Algebra · 10.5절 · 2번
# 이차함수와 그래프그래프·표 해석자동 분류
8.OpenStax Elementary Algebra · 10.5절 · 2번우리말 번역

y=x2+1y={x}^{2}+1 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Graph y=x2+1y={x}^{2}+1.

정답·풀이 보기

이 그림은 x y 좌표평면 위에 그려진, 위로 열린 U자 모양의 곡선을 보여 준다. 좌표평면의 x축은 -10부터 10까지이고, y축도 -10부터 10까지이다. 곡선에서 가장 낮은 점은 (0, 1)이다. 곡선 위의 다른 점으로는 (-2, 5), (-1, 2), (1, 2), (2, 5)가 있다.

원본 교재 풀이(영어)

This figure shows an upward-opening u shaped curve graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The y-axis of the plane runs from negative 10 to 10. The lowest point on the curve is at the point (0, 1). Other points on the curve are located at (-2, 5), (-1, 2), (1, 2) and (2, 5).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Elementary Algebra · 10.5절 · 1번
# 이차함수와 그래프그래프·표 해석자동 분류
9.OpenStax Elementary Algebra · 10.5절 · 2번우리말 번역

각 포물선이 위로 열리는지 아래로 열리는지 판단하세요.

ⓐ y=−3x2+2x−4y=-3{x}^{2}+2x-4 ⓑ y=6x2+7x−9y=6{x}^{2}+7x-9

영어 원문 보기

Determine whether each parabola opens upward or downward:

ⓐ y=−3x2+2x−4y=-3{x}^{2}+2x-4 ⓑ y=6x2+7x−9y=6{x}^{2}+7x-9

정답·풀이 보기
ⓐ “a”의 값을 구한다. 이 그림은 이차방정식의 표준형 y = ax^2 + bx + c와 구체적인 예 y = -3x^2 + 2x - 4를 비교하여 보여 준다. 이 경우 a = -3임을 강조한다. “a”가 음수이므로 포물선은 아래로 열린다.
ⓑ “a”의 값을 구한다. 이 그림은 일반적인 이차방정식 y = ax^2 + bx + c와 그 뒤에 구체적인 예 y = 6x^2 + 7x - 9를 보여 준다. 그 아래에는 변수 q에 6이 대입되어 있다. “a”가 양수이므로 포물선은 위로 열린다.
원본 교재 풀이(영어)
ⓐ Find the value of "a". This image displays a comparison between the standard quadratic equation, y = ax^2 + bx + c, and a specific instance, y = -3x^2 + 2x - 4. It highlights that in this case, a = -3. Since the “a” is negative, the parabola will open downward.
ⓑ Find the value of "a". The image displays the general quadratic equation y = ax^2 + bx + c followed by a specific example y = 6x^2 + 7x - 9. Below this, a variable q is assigned the value 6. Since the “a” is positive, the parabola will open upward.
한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 9.7절 · 39번
# 이차함수와 그래프계산자동 분류
10.OpenStax Elementary Algebra · 10.5절 · 3번우리말 번역

각 포물선이 위로 열리는지 아래로 열리는지 판단하세요.

ⓐ y=2x2+5x−2y=2{x}^{2}+5x-2 ⓑ y=−3x2−4x+7y=-3{x}^{2}-4x+7

영어 원문 보기

Determine whether each parabola opens upward or downward:

ⓐ y=2x2+5x−2y=2{x}^{2}+5x-2 ⓑ y=−3x2−4x+7y=-3{x}^{2}-4x+7

정답·풀이 보기

ⓐ 위 ⓑ 아래

원본 교재 풀이(영어)

ⓐ up ⓑ down

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Elementary Algebra · 10.5절 · 9번
# 이차함수와 그래프계산자동 분류
11.OpenStax Elementary Algebra · 10.5절 · 4번우리말 번역

각 포물선이 위로 열리는지 아래로 열리는지 판단하세요.

ⓐ y=−2x2−2x−3y=-2{x}^{2}-2x-3 ⓑ y=5x2−2x−1y=5{x}^{2}-2x-1

영어 원문 보기

Determine whether each parabola opens upward or downward:

ⓐ y=−2x2−2x−3y=-2{x}^{2}-2x-3 ⓑ y=5x2−2x−1y=5{x}^{2}-2x-1

정답·풀이 보기

ⓐ 아래 ⓑ 위

원본 교재 풀이(영어)

ⓐ down ⓑ up

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Elementary Algebra · 10.5절 · 7번
# 이차함수와 그래프계산자동 분류
12.OpenStax Elementary Algebra · 10.5절 · 3번우리말 번역

포물선 y=3x2−6x+2y=3{x}^{2}-6x+2 에 대하여 다음을 구하세요: ⓐ 대칭축 그리고 ⓑ 꼭짓점.

영어 원문 보기

For the parabola y=3x2−6x+2y=3{x}^{2}-6x+2 find: ⓐ the axis of symmetry and ⓑ the vertex.

정답·풀이 보기
ⓐ 이차방정식의 일반형 y = ax^2 + bx + c 를 보여 주고, 이어서 구체적인 예인 y = 3x^2 - 6x + 2 를 보여 주면서 a, b, c 에 구체적인 값이 어떻게 대입되는지 나타내는 그림이다.
대칭축은 직선 x=−b2ax=-\frac{b}{2a} 이다. 포물선의 꼭짓점의 x좌표, 즉 대칭축을 구하는 공식으로, 일반형 이차방정식에서 유도한 것이다: x = -b / (2a).
a, b 의 값을 식에 대입한다. X는 분수의 음수와 같다는 수식이 나와 있으며, 이 분수의 분자는 -6이고 분모는 2 곱하기 3이다.
간단히 한다. x=1x=1
대칭축은 직선 x=1x=1 이다.
ⓑ 이차방정식 y = 3x^2 - 6x + 2 가 흰 배경에 검은 글씨로 나타나 있다.
꼭짓점은 대칭축 위에 있으므로 꼭짓점의 x좌표는 x=1x=1 이다.
방정식에 x=1x=1 을 대입하여 y 를 구한다. 수식 &#39;y = 3(1)^2 - 6(1) + 2&#39; 가 나와 있으며, 이차식에 수 1을 대입한 것을 보여 준다. 숫자 1은 강조하기 위해 빨간색으로 표시되어 있다.
간단히 한다. y = 3 * 1 - 6 + 2 라고 쓰인 수식이 나와 있다. 이 수식은 흰 배경에 검은 글씨로 표시되어 있으며, 곱셈, 뺄셈, 덧셈이 들어 있는 계산을 나타낸다.
이것이 y좌표이다. y=−1y=-1 꼭짓점은 (1,−1)(1,-1) 이다.
원본 교재 풀이(영어)
ⓐ The image displays the standard form of a quadratic equation, y = ax^2 + bx + c, followed by a concrete instance, y = 3x^2 - 6x + 2, demonstrating how specific values for a, b, and c are substituted.
The axis of symmetry is the line x=−b2ax=-\frac{b}{2a}. The formula for the x-coordinate of the vertex of a parabola, or the axis of symmetry, derived from the standard quadratic equation: x = -b / (2a).
Substitute the values of a, b into the equation. A mathematical equation shows X equals the negative of a fraction, where the numerator is -6 and the denominator is 2 multiplied by 3.
Simplify. x=1x=1
The axis of symmetry is the line x=1x=1.
ⓑ A quadratic equation, y = 3x^2 - 6x + 2, is displayed in black text on a white background.
The vertex is on the line of symmetry, so its x-coordinate will be x=1x=1.
Substitutex=1x=1 into the equation and solve for y. A mathematical equation shows &#39;y = 3(1)^2 - 6(1) + 2&#39;, demonstrating the substitution of the number 1 into a quadratic expression, with the number 1 highlighted in red for emphasis.
Simplify. A mathematical equation is displayed, reading y = 3 * 1 - 6 + 2. The equation is rendered in black text on a white background, representing a calculation involving multiplication, subtraction, and addition.
This is the y-coordinate. y=−1y=-1 The vertex is (1,−1).(1,-1).
한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Elementary Algebra · 10.5절 · 2번
# 이차함수와 그래프계산자동 분류
13.OpenStax Elementary Algebra · 10.5절 · 5번우리말 번역

포물선 y=2x2−8x+1y=2{x}^{2}-8x+1 에 대해 다음을 구하세요: ⓐ 대칭축, ⓑ 꼭짓점.

영어 원문 보기

For the parabola y=2x2−8x+1y=2{x}^{2}-8x+1 find: ⓐ the axis of symmetry and ⓑ the vertex.

답 쓰고 채점
ⓐ
ⓑ
정답·풀이 보기

ⓐ x=2x=2 ⓑ (2,−7)(2,-7)

원본 교재 풀이(영어)

ⓐ x=2x=2 ⓑ (2,−7)(2,-7)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 5.1절 · 9번
# 이차함수와 그래프계산자동 분류
14.OpenStax Elementary Algebra · 10.5절 · 6번우리말 번역

포물선 y=2x2−4x−3y=2{x}^{2}-4x-3 에 대해 다음을 구하세요: ⓐ 대칭축, ⓑ 꼭짓점.

영어 원문 보기

For the parabola y=2x2−4x−3y=2{x}^{2}-4x-3 find: ⓐ the axis of symmetry and ⓑ the vertex.

답 쓰고 채점
ⓐ
ⓑ
정답·풀이 보기

ⓐ x=1x=1 ⓑ (1,−5)(1,-5)

원본 교재 풀이(영어)

ⓐ x=1x=1 ⓑ (1,−5)(1,-5)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Elementary Algebra · 10.5절 · 5번
# 이차함수와 그래프계산자동 분류
15.OpenStax Elementary Algebra · 10.5절 · 7번우리말 번역

y=x2−6x+8y={x}^{2}-6x+8 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Graph y=x2−6x+8y={x}^{2}-6x+8.

정답·풀이 보기

이 그림은 이차방정식 y 는 x 제곱 빼기 6x 더하기 8 의 그래프를 그리는 단계를 보여 준다. 1단계는 y 가 한쪽에 오도록 이차방정식을 쓰는 것이다. 이 방정식은 이미 y 가 한쪽에 있다. a 의 값은 1, b 의 값은 -6, c 의 값은 8이다.

2단계는 포물선이 위로 열리는지 아래로 열리는지 판단하는 것이다. a 가 양수이므로 포물선은 위로 열린다.

3단계는 대칭축을 구하는 것이다. 대칭축은 직선 x 는 마이너스 b 나누기 2a 이다. b 와 a 의 값을 대입하면 x 는 마이너스 -6 나누기 2 곱하기 1 이 되고, 이를 간단히 하면 x 는 3 이다. 대칭축은 직선 x 는 3 이다.

4단계는 꼭짓점을 구하는 것이다. 꼭짓점은 대칭축 위에 있다. 방정식에 x 는 3 을 대입하여 y 를 구한다. 방정식은 y 는 x 제곱 빼기 6x 더하기 8 이다. x 에 3 을 대입하면 y 는 3 제곱 빼기 6 곱하기 3 더하기 8 이 되고, 이를 간단히 하면 y 는 -1 이다. 꼭짓점은 (3, -1) 이다.

5단계는 y절편을 구하고, 대칭축에 대하여 y절편과 대칭인 점을 구하는 것이다. 방정식에 x 는 0 을 대입한다. 방정식은 y 는 x 제곱 빼기 6x 더하기 8 이다. x 에 0 을 대입하면 y 는 0 제곱 빼기 6 곱하기 0 더하기 8 이 되고, 이를 간단히 하면 y 는 8 이다. y절편은 (0, 8) 이다. 대칭축을 이용하여 y절편과 대칭인 점을 구한다. y절편은 대칭축 x 는 3 에서 왼쪽으로 3만큼 떨어져 있다. 대칭축에서 오른쪽으로 3만큼 떨어진 점은 x 가 6 이다. y절편과 대칭인 점은 (6, 8) 이다.

6단계는 x절편을 구하는 것이다. 방정식에 y 는 0 을 대입한다. 방정식은 0 은 x 제곱 빼기 6x 더하기 8 이 된다. 이 이차방정식은 인수분해로 풀 수 있으며, 0 은 (x 빼기 2) 곱하기 (x 빼기 4) 가 된다. 각 방정식을 풀면 x 는 2, x 는 4 이다. x절편은 (2, 0) 과 (4, 0) 이다.

7단계는 포물선의 그래프를 그리는 것이다. 꼭짓점, 절편, 그리고 y절편과 대칭인 점을 좌표평면에 나타낸다. 이 다섯 점을 이어 포물선을 그린다. 그래프는 xy 좌표평면에 그려진, 위로 열린 포물선을 보여 준다. 좌표평면의 x축은 -2 부터 10 까지이다. y축은 -3 부터 10 까지이다. 꼭짓점은 점 (3, -1) 에 있다. 곡선 위에는 (0, 8), (6, 8), (2, 0), (4, 0) 의 네 점이 찍혀 있다. 또한 그래프에는 대칭축을 나타내는 점선 세로 직선이 있다. 이 직선은 x 는 3 에서 꼭짓점을 지난다.

원본 교재 풀이(영어)

The image shows the steps to graph the quadratic equation y equals x squared minus 6 x plus 8. Step 1 is to write the quadratic equation with y on one side. This equation has y on one side already. The value of a is one, the value of b is -6 and the value of c is 8.

Step 2 is to determine whether the parabola opens upward or downward. Since a is positive, the parabola opens upward.

Step 3 is to find the axis of symmetry. The axis of symmetry is the line x equals negative b divided by the quantity 2 a. Plugging in the values of b and a the formula becomes x equals negative -6 divided by the quantity 2 times 1 which simplifies to x equals 3. The axis of symmetry is the line x equals 3.

Step 4 is to find the vertex. The vertex is on the axis of symmetry. Substitute x equals 3 into the equation and solve for y. The equation is y equals x squared minus 6 x plus 8. Replacing x with 3 it becomes y equals 3 squared minus 6 times 3 plus 8 which simplifies to y equals -1. The vertex is (3, -1).

Step 5 is to find the y-intercept and find the point symmetric to the y-intercept across the axis of symmetry. We substitute x equals 0 into the equation. The equation is y equals x squared minus 6 x plus 8. Replacing x with 0 it becomes y equals 0 squared minus 6 times 0 plus 8 which simplifies to y equals 8. The y-intercept is (0, 8). We use the axis of symmetry to find a point symmetric to the y-intercept. The y-intercept is 3 units left of the axis of symmetry, x equals 3. A point 3 units to the right of the axis of symmetry has x equals 6. The point symmetric to the y-intercept is (6, 8).

Step 6 is to find the x-intercepts. We substitute y equals 0 into the equation. The equation becomes 0 equals x squared minus 6 x plus 8. We can solve this quadratic equation by factoring to get 0 equals the quantity x minus 2 times the quantity x minus 4. Solve each equation to get x equals 2 and x equals 4. The x-intercepts are (2, 0) and (4, 0).

Step 7 is to graph the parabola. We graph the vertex, intercepts, and the point symmetric to the y-intercept. We connect these five points to sketch the parabola. The graph shows an upward-opening parabola graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from -2 to 10. The y-axis of the plane runs from -3 to 10. The vertex is at the point (3, -1). Four points are plotted on the curve at (0, 8), (6, 8), (2, 0) and (4, 0). Also on the graph is a dashed vertical line representing the axis of symmetry. The line goes through the vertex at x equals 3.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Elementary Algebra · 10.5절 · 17번
# 이차함수와 그래프그래프·표 해석자동 분류
16.OpenStax Elementary Algebra · 10.5절 · 13번우리말 번역

포물선 y=x2+2x−8y={x}^{2}+2x-8 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Graph the parabola y=x2+2x−8.y={x}^{2}+2x-8.

정답·풀이 보기

y: (0,−8)y:\,(0,-8); x: (2,0),(−4,0)x:\,(2,0),(-4,0); 대칭축: x=−1x=-1; 꼭짓점: (−1,−9)(-1,-9);

이 그래프는 xy-좌표평면 위에 그려진 아래로 볼록한(위로 열린) 포물선을 보여 준다. 좌표평면의 x축은 -10부터 10까지이고, y축도 -10부터 10까지이다. 꼭짓점은 점 (-1, -9)에 있다. 곡선 위에는 세 점 (0, -8), (2, 0), (-4, 0)이 표시되어 있다. 또한 대칭축을 나타내는 세로 점선이 그려져 있다. 이 직선은 x가 -1인 곳에서 꼭짓점을 지난다.

원본 교재 풀이(영어)

y: (0,−8)y:\,(0,-8); x: (2,0),(−4,0)x:\,(2,0),(-4,0); axis: x=−1x=-1; vertex: (−1,−9)(-1,-9);

The graph shows an upward-opening parabola graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from -10 to 10. The y-axis of the plane runs from -10 to 10. The vertex is at the point (-1, -9). Three points are plotted on the curve at (0, -8), (2, 0) and (-4, 0). Also on the graph is a dashed vertical line representing the axis of symmetry. The line goes through the vertex at x equals -1.

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17.OpenStax Elementary Algebra · 10.5절 · 14번우리말 번역

포물선 y=x2−8x+12y={x}^{2}-8x+12 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Graph the parabola y=x2−8x+12.y={x}^{2}-8x+12.

정답·풀이 보기

y: (0,12); x: (2,0),(6,0)y:\,(0,12);\,x:\,(2,0),(6,0); 대칭축: x=4; 꼭짓점: (4,−4)x=4;\,\text{꼭짓점:}\,(4,-4);

이 그래프는 xy-좌표평면 위에 그려진 아래로 볼록한(위로 열린) 포물선을 보여 준다. 좌표평면의 x축은 -10부터 10까지이고, y축도 -10부터 10까지이다. 꼭짓점은 점 (4, -4)에 있다. 곡선 위에는 세 점 (0, 12), (2, 0), (6, 0)이 표시되어 있다. 또한 대칭축을 나타내는 세로 점선이 그려져 있다. 이 직선은 x가 4인 곳에서 꼭짓점을 지난다.

원본 교재 풀이(영어)

y: (0,12); x: (2,0),(6,0);y:\,(0,12);\,x:\,(2,0),(6,0); axis: x=4; vertex: (4,−4)x=4;\,\text{vertex:}\,(4,-4);

The graph shows an upward-opening parabola graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from -10 to 10. The y-axis of the plane runs from -10 to 10. The vertex is at the point (4, -4). Three points are plotted on the curve at (0, 12), (2, 0) and (6, 0). Also on the graph is a dashed vertical line representing the axis of symmetry. The line goes through the vertex at x equals 4.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Elementary Algebra · 10.5절 · 13번
# 이차함수와 그래프그래프·표 해석자동 분류
18.OpenStax Elementary Algebra · 10.5절 · 8번우리말 번역

y=−x2+6x−9y=-{x}^{2}+6x-9 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Graph y=−x2+6x−9y=-{x}^{2}+6x-9.

정답·풀이 보기
방정식의 한쪽에 y만 있다. 일반적인 이차방정식 y = ax^2 + bx + c 가 구체적인 예인 y = -x^2 + 6x - 9 위에 나타나 있다.
a가 −1-1 이므로 포물선은 아래쪽으로 열린다. 대칭축을 구하기 위해 x=−b2ax=-\frac{b}{2a} 를 구한다. 빨간 호가 아래를 향한 두 화살표를 이어 주고 있어, 내려가는 두 점 또는 결과 사이의 경로나 관계를 나타내는 듯하다. 이차방정식의 포물선에서 꼭짓점의 x좌표를 구하는 데 쓰이는 공식 x = -b / (2a) 가 나타나 있다. X는 -6을 2와 -1의 곱으로 나눈 것과 같다는 식, 즉 X = -6 / (2(-1)) 이 나타나 있다. 흰 배경에 검은 글씨로 수식 &#39;x=3&#39; 이 나타나 있다. 대칭축은 x=3x=3 이다. 꼭짓점은 직선 x=3x=3 위에 있다. 좌표평면에 x=3 에서 수직인 빨간 점선이 있고, 이 선은 x축과 3에서 만나며 (3,4), (3,0), (3,-10) 같은 점들을 지나 끝없이 뻗어 있다.
x=3x=3 일 때 y 를 구한다. 흰 배경에 y = -x^2 + 6x - 9 라는 수식이 나타나 있다. 이는 이차함수를 나타내며, 아래로 열린 포물선인 것으로 보인다. 수식 y = -3의 제곱 + 6 * 3 - 9 이며, 숫자 3 은 치환에 쓰였음을 나타내기 위해 빨간색으로 강조되어 있다. y = -9 + 18 - 9 라는 수식, 즉 y 는 음의 9 더하기 18 빼기 9 와 같다는 식이 나타나 있다. 흰 배경에 검은 글씨로 수식 &#39;y = 0&#39; 이 나타나 있다. 꼭짓점은 (3,0)(3,0) 이다. 방정식 x=3 을 나타내는 수직 점선이 x축과 (3,0) 에서 만나는 그래프가 나타나 있다.
y절편은 x=0x=0 일 때 나타난다. x=0x=0 을 대입한다. 간단히 한다. 점 (0,−9)(0,-9) 는 대칭축에서 왼쪽으로 3만큼 떨어져 있다. 대칭축에서 오른쪽으로 3만큼 떨어진 점은 (6,−9)(6,-9) 이다. y절편과 대칭인 점은 (6,−9)(6,-9) 이다. y = -x^2 + 6x - 9 라는 수식이 나타나 있다. 이는 이차함수를 나타내며, 아래로 열린 포물선으로 그려질 것으로 보인다. 수식 y = -0^2 + 6 &#39;.&#39; 0 - 9 가 나타나 있으며, 이차식에 0을 대입하여 y 를 계산한다. 흰 배경에 검은 글씨로 간단한 대수 방정식 &#39;y = -9&#39; 가 나타나 있다. y절편은 (0,−9)(0,-9) 이다. 이 그래프는 x=3 에서 수직인 점선과 직교좌표계 위의 서로 다른 세 점을 보여 준다. 한 점은 직선 위에 있고, 나머지 두 점은 y=-9 에서 가로로 나란히 놓여 있다.
x절편은 y=0y=0 일 때 나타난다. y = -x^2 + 6x - 9 라는 수식이 나타나 있다. 이는 이차함수를 나타내며, 아래로 열린 포물선의 그래프를 그리는 데 쓰일 수 있다.
y=0y=0 을 대입한다. 0 = -x^2 + 6x - 9 로 나타낸 이차방정식이다.
최대공약수로 묶는다. 흰 배경에 검은 글씨로 &#39;0 = -(x^2 - 6x + 9)&#39; 가 나타나 있으며, 괄호 밖에 음의 부호가 있는 이차식을 0과 같다고 놓은 것이다.
삼항식을 인수분해한다. 흰 배경에 선명한 디지털 글꼴로 0 = -(x - 3)^2 이라는 수식이 나타나 있다.
x 에 대해 푼다. 흰 배경에 간단한 대수 방정식 &#39;X = 3&#39; 이 나타나 있다.
점들을 이어 포물선의 그래프를 그린다. 꼭짓점이 (3, 0) 인 아래로 열린 포물선의 그래프가 나타나 있다. 빨간 점선은 x = 3 에서의 대칭축을 나타낸다. 포물선 위의 두 점은 (1, -9) 와 (5, -9) 이다.
원본 교재 풀이(영어)
The equation y has on one side. A general quadratic equation y = ax^2 + bx + c is shown above a specific example, y = -x^2 + 6x - 9.
Since a is −1-1, the parabola opens downward. To find the axis of symmetry, find x=−b2ax=-\frac{b}{2a}. A red arc connects two downward-pointing arrows, suggesting a path or relationship between two descending points or outcomes. The formula x = -b / (2a) is displayed, which is used to find the x-coordinate of the vertex of a parabola for a quadratic equation. A mathematical equation shows X equals negative 6 divided by the product of 2 and negative 1, written as X = -6 / (2(-1)). The mathematical equation &#39;x=3&#39; is displayed in black text on a plain white background. The axis of symmetry is x=3.x=3. The vertex is on the line x=3.x=3. A coordinate plane shows a vertical dashed red line at x=3, intersecting the x-axis at 3 and extending indefinitely through points such as (3,4), (3,0), and (3,-10).
Find y when x=3.x=3. A mathematical equation is displayed on a white background: y = -x^2 + 6x - 9. This represents a quadratic function, likely a parabola opening downwards. Mathematical expression y = -3 squared + 6 * 3 - 9; the number 3 is highlighted in red to indicate its use as a variable for substitution. A mathematical equation is displayed, showing y = -9 + 18 - 9, where y is equal to negative nine plus eighteen minus nine. The mathematical equation &#39;y = 0&#39; is displayed in black font against a white background. The vertex is (3,0).(3,0). A graph displays a vertical dashed line representing the equation x=3, intersecting the x-axis at (3,0).
The y-intercept occurs when x=0.x=0. Substitute x=0.x=0. Simplify. The point (0,−9)(0,-9) is three units to the left of the line of symmetry. The point three units to the right of the line of symmetry is (6,−9).(6,-9). Point symmetric to the *y-*intercept is (6,−9)(6,-9) A mathematical equation is displayed, showing y = -x^2 + 6x - 9. This represents a quadratic function, likely to be graphed as a parabola opening downwards. The mathematical equation y = -0^2 + 6 &#39;.&#39; 0 - 9 is displayed, where y is calculated by substituting 0 into a quadratic expression. The image displays the simple algebraic equation &#39;y = -9&#39; in black text on a plain white background. The y-intercept is (0,−9).(0,-9). This graph illustrates a vertical dashed line at x=3 and three distinct points on a Cartesian coordinate system. One point is on the line, and two others are horizontally aligned at y=-9.
The x-intercept occurs when y=0.y=0. A mathematical equation is displayed, showing y = -x^2 + 6x - 9, which represents a quadratic function and could be used for graphing a parabola opening downwards.
Substitute y=0.y=0. A quadratic equation displayed as 0 = -x^2 + 6x - 9.
Factor the GCF. A mathematical equation shows &#39;0 = -(x^2 - 6x + 9)&#39; in black text on a white background, representing a quadratic expression set equal to zero with a negative sign outside the parentheses.
Factor the trinomial. The image shows the mathematical equation 0 = -(x - 3)^2 in a clear, digital font against a white background.
Solve for x. The image displays a simple algebraic equation, &#39;X = 3&#39;, set against a plain white background.
Connect the points to graph the parabola. A graph displays a downward-opening parabola with its vertex at (3, 0). A dashed red line indicates the axis of symmetry at x = 3. Two points on the parabola are (1, -9) and (5, -9).
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19.OpenStax Elementary Algebra · 10.5절 · 15번우리말 번역

포물선 y=−3x2+12x−12y=-3{x}^{2}+12x-12 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Graph the parabola y=−3x2+12x−12.y=-3{x}^{2}+12x-12.

정답·풀이 보기

y: (0,−12); x: (2,0)y:\,(0,-12);\,x:\,(2,0); 대칭축: x=2; 꼭짓점:(2,0)x=2;\,\text{꼭짓점:}(2,0);

이 그래프는 xy좌표평면에 그려진 아래로 열린 포물선을 보여 준다. 좌표평면의 x축은 -10부터 10까지이다. y축은 -1부터 10까지이다. 꼭짓점은 점 (2, 0)에 있다. 곡선 위에는 점 (0, -12)도 하나 더 표시되어 있다. 또한 그래프에는 대칭축을 나타내는 점선으로 된 세로 직선이 있다. 이 직선은 x가 2인 곳에서 꼭짓점을 지난다.

원본 교재 풀이(영어)

y: (0,−12); x: (2,0);y:\,(0,-12);\,x:\,(2,0); axis: x=2; vertex:(2,0)x=2;\,\text{vertex:}(2,0);

The graph shows an downward-opening parabola graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from -10 to 10. The y-axis of the plane runs from -1 to 10. The vertex is at the point (2, 0). One other point is plotted on the curve at (0, -12). Also on the graph is a dashed vertical line representing the axis of symmetry. The line goes through the vertex at x equals 2.

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20.OpenStax Elementary Algebra · 10.5절 · 16번우리말 번역

포물선 y=25x2+10x+1y=25{x}^{2}+10x+1 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Graph the parabola y=25x2+10x+1.y=25{x}^{2}+10x+1.

정답·풀이 보기

y: (0,1); x: (−15,0)y:\,(0,1);\,x:\,\left(-\frac{1}{5},0\right); 대칭축: x=−15; 꼭짓점: (−15,0)x=-\frac{1}{5};\,\text{꼭짓점:}\,\left(-\frac{1}{5},0\right);

이 그래프는 xy좌표평면에 그려진 위로 열린 포물선을 보여 준다. 좌표평면의 x축은 -5부터 5까지이다. y축은 -5부터 10까지이다. 꼭짓점은 점 (-5분의 1, 0)에 있다. 곡선 위에는 점 (0, 1)도 하나 더 표시되어 있다. 또한 그래프에는 대칭축을 나타내는 점선으로 된 세로 직선이 있다. 이 직선은 x가 -5분의 1인 곳에서 꼭짓점을 지난다.

원본 교재 풀이(영어)

y: (0,1); x: (−15,0);y:\,(0,1);\,x:\,\left(-\frac{1}{5},0\right); axis: x=−15; vertex: (−15,0)x=-\frac{1}{5};\,\text{vertex:}\,\left(-\frac{1}{5},0\right);

The graph shows an upward-opening parabola graphed on the x y-coordinate plane. The x-axis of the plane runs from -5 to 5. The y-axis of the plane runs from -5 to 10. The vertex is at the point (-1 fifth, 0). One other point is plotted on the curve at (0, 1). Also on the graph is a dashed vertical line representing the axis of symmetry. The line goes through the vertex at x equals -1 fifth.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Elementary Algebra · 10.5절 · 15번
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