극한의 성질과 계산

먼저 그래프에서 쉽게 읽을 수 있는 점들을 찍는다. $$\begin{array}{c|c|c} x&f(x)&\frac{1}{f(x)}\\ \hline -3&-3&\frac{-1}{3}\\ -2&0&UND\\ -1&3&\frac{1}{3}\\ 0&3&\frac{1}{3}\\ 1&\frac{3}{2}&\frac{2}{3}\\ 2&0&UND\\ 3&1&1 \end{array}$$ $f(x) = 0$ 일 때 $\frac{1}{f(x)}$ 은 정의되지 않음에 주의한다. 따라서 $\frac{1}{f(x)}$ 은 $x=-2$ 와 $x=2$ 에서 정의되지 않는다. $x$ 가 $\pm 2$ 에 가까울 때 $\frac{1}{f(x)}$ 의 변화는 곧 더 자세히 살펴볼 것이다.

위의 점들을 찍으면 다음과 같은 그림이 된다.

$x$ 가 -1과 0 사이일 때 $f(x)$ 는 상수이므로 -1과 0 사이에서 $\frac{1}{f(x)}$ 도 상수이다. 따라서 그림을 다음과 같이 고친다.

남은 큰 문제는 $x$ 가 -2와 2에 가까울 때 $\frac{1}{f(x)}$ 의 변화이다. 이 문제는 극한으로 답할 수 있다. $x$ 가 $-2$ 에 왼쪽에서 가까워질 때 $f(x)$ 는 0에 가까워지고 음수이다. 따라서 $\frac{1}{f(x)}$ 은 음수이고, 그 크기는 한없이 커진다. 즉 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2^-}\dfrac{1}{f(x)}=-\infty$ 이다. 마찬가지로 $x$ 가 $-2$ 에 오른쪽에서 가까워질 때 $f(x)$ 는 0에 가까워지고 양수이다. 따라서 $\frac{1}{f(x)}$ 은 양수이고, 그 크기는 한없이 커진다. 즉 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2^+}\dfrac{1}{f(x)}=\infty$ 이다. 이러한 변화를 그래프에 더한다.

이제 $x=2$ 에서의 변화를 살펴본다. $x$ 가 2에 가까워질 때 $f(x)$ 는 0에 한없이 가까워지고 동시에 양수이므로 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 2} \frac{1}{f(x)}=\infty$ 이다. 이를 그림에 더한다.

이제 남은 빈 곳은 $x=0$ 과 $x=1$ 사이뿐이다. $f(x)$ 는 0에서 떨어져 있는 매끄러운 곡선이므로 여기에는 적당히 매끄러운 곡선을 그리면 충분하다. (그래프를 그리는 방법은 나중에 더 자세히 다룬다. 이 문제의 목적은 지금까지 배운 극한을 활용하는 것이었다.)