극한의 성질과 계산 연습문제

1.OpenStax 1권 · 2.3절 · 11번우리말 풀이

다음 문제에서는 직접 대입하면 각 극한이 부정형 $0/0$ 이 됨을 보이세요. 그런 다음 극한값을 구하세요.

$\lim_{x\to 4}\dfrac{x^{2}-16}{x-4}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use direct substitution to show that each limit leads to the indeterminate form $0/0.$ Then, evaluate the limit.

$\lim_{x\to 4}\frac{{x}^{2}-16}{x-4}$

풀이 보기

$0/0$ 꼴이면 분자를 인수분해해서 분모와 같은 인수를 약분해요.

1
먼저 $x=4$ 를 대입해 봐요. 분자는 $4^2-16=0$ , 분모는 $4-4=0$ 이라서 $\dfrac{0}{0}$ 꼴이 돼요. 이 꼴은 값이 정해지지 않아서 식을 바꿔야 해요.
2
분자를 인수분해해요. $x^2-16=(x+4)(x-4)$ 이므로

$\frac{x^2-16}{x-4}=\frac{(x+4)(x-4)}{x-4}$
3
약분해요. $x\to4$ 일 때 $x\ne4$ 이므로 $x-4\ne0$ 이라서 약분해도 돼요. 식은 $x+4$ 가 돼요.
4
극한값을 구해요. $\lim_{x\to4}(x+4)=4+4=8$

답

$8$

자주 하는 실수

$0/0$ 이 나오면 극한이 $0$ 이라고 하거나 존재하지 않는다고 단정해요.

원본 교재 풀이(영어)

$\lim_{x\to 4}\frac{{x}^{2}-16}{x-4}=\frac{16-16}{4-4}=\frac{0}{0};$ then, $\lim_{x\to 4}\frac{{x}^{2}-16}{x-4}=\lim_{x\to 4}\frac{(x+4)(x-4)}{x-4}=8$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 23번

# 극한의 성질과 계산계산기본

2.OpenStax 1권 · 2.3절 · 23번우리말 풀이

다음 문제에서는 직접 대입해서 정의되지 않는 식을 얻으세요. 그런 다음 (본문의) 방법을 써서 함수를 간단히 하고 극한을 구하세요.

$\lim_{x\to 1^{-}}\dfrac{2x^{2}+7x-4}{x^{2}+x-2}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use direct substitution to obtain an undefined expression. Then, use the method of (see text) to simplify the function to help determine the limit.

$\lim_{x\to {1}^{-}}\frac{2{x}^{2}+7x-4}{{x}^{2}+x-2}$

풀이 보기

분모만 $0$ 이 되고 분자는 $0$ 이 아니면 $\pm\infty$ 로 가요. 부호는 $x$ 가 $1$ 의 왼쪽에서 다가갈 때의 분모 부호로 정해요.

1
직접 대입해 봐요. $x=1$ 이면 분자는 $2+7-4=5$ , 분모는 $1+1-2=0$ 이라서 $\dfrac{5}{0}$ 로 정의되지 않아요.
2
인수분해해요. 분자는 $2x^2+7x-4=(2x-1)(x+4)$ , 분모는 $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$ 이에요. 약분할 공통 인수는 없어요.

$\frac{(2x-1)(x+4)}{(x+2)(x-1)}$
3
분자와 분모의 값이 어디로 가는지 봐요. $x\to1$ 일 때 분자 $(2x-1)(x+4)\to 1\cdot5=5$ (양수), $(x+2)\to3$ (양수) 예요. 문제는 분모의 $(x-1)$ 이에요.
4
왼쪽에서 다가갈 때의 부호를 확인해요. $x\to1^{-}$ 이면 $x<1$ 이므로 $x-1$ 은 아주 작은 음수예요. 그래서 전체는 $\dfrac{\text{양수}}{\text{(양수)}\times(\text{아주 작은 음수})}$ 로 절댓값이 한없이 커지는 음수가 돼요.

답

$-\infty$

자주 하는 실수

$\dfrac{5}{0}$ 을 보고 부호를 따지지 않은 채 그냥 $\infty$ 라고 써요.

원본 교재 풀이(영어)

−∞

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.4절 · 4번

# 극한의 성질과 계산계산보통

3.OpenStax 1권 · 2.3절 · 1번우리말 번역

다음 연습문제에서, 극한의 성질을 이용하여 각 극한의 값을 구하세요. 각 단계에 알맞은 극한의 성질을 밝혀 그 과정을 정당화하세요.

$\lim_{x\to 0}(4{x}^{2}-2x+3)$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the limit laws to evaluate each limit. Justify each step by indicating the appropriate limit law(s).

$\lim_{x\to 0}(4{x}^{2}-2x+3)$

정답·풀이 보기

상수배의 성질과 차의 성질을 이용한다: $\lim_{x\to 0}(4{x}^{2}-2x+3)=4\lim_{x\to 0}{x}^{2}-2\lim_{x\to 0}x+\lim_{x\to 0}3=3$

원본 교재 풀이(영어)

Use constant multiple law and difference law: $\lim_{x\to 0}(4{x}^{2}-2x+3)=4\lim_{x\to 0}{x}^{2}-2\lim_{x\to 0}x+\lim_{x\to 0}3=3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 3번

# 극한의 성질과 계산증명·논술자동 분류

4.OpenStax 1권 · 2.3절 · 2번우리말 번역

다음 연습문제에서, 극한의 성질을 이용하여 각 극한의 값을 구하세요. 각 단계에 알맞은 극한의 성질을 밝혀 그 과정을 정당화하세요.

$\lim_{x\to 1}\frac{{x}^{3}+3{x}^{2}+5}{4-7x}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the limit laws to evaluate each limit. Justify each step by indicating the appropriate limit law(s).

$\lim_{x\to 1}\frac{{x}^{3}+3{x}^{2}+5}{4-7x}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 37번

# 극한의 성질과 계산증명·논술자동 분류

5.OpenStax 1권 · 2.3절 · 3번우리말 번역

다음 문제에서 극한의 성질을 이용하여 각 극한의 값을 구하세요. 각 단계에 알맞은 극한의 성질을 밝혀 그 단계가 성립하는 이유를 설명하세요.

$\lim_{x\to -2}\sqrt{{x}^{2}-6x+3}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the limit laws to evaluate each limit. Justify each step by indicating the appropriate limit law(s).

$\lim_{x\to -2}\sqrt{{x}^{2}-6x+3}$

정답·풀이 보기

근호의 극한 법칙을 이용한다: $\lim_{x\to -2}\sqrt{{x}^{2}-6x+3}=\sqrt{\lim_{x\to -2}({x}^{2}-6x+3)}=\sqrt{19}$

원본 교재 풀이(영어)

Use root law: $\lim_{x\to -2}\sqrt{{x}^{2}-6x+3}=\sqrt{\lim_{x\to -2}({x}^{2}-6x+3)}=\sqrt{19}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2장 복습 · 14번

# 극한의 성질과 계산증명·논술자동 분류

6.OpenStax 1권 · 2.3절 · 4번우리말 번역

다음 문제에서 극한의 성질을 이용하여 각 극한의 값을 구하세요. 각 단계에 알맞은 극한의 성질을 밝혀 그 단계가 성립하는 이유를 설명하세요.

$\lim_{x\to -1}{(9x+1)}^{2}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the limit laws to evaluate each limit. Justify each step by indicating the appropriate limit law(s).

$\lim_{x\to -1}{(9x+1)}^{2}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 43번

# 극한의 성질과 계산증명·논술자동 분류

7.OpenStax 1권 · 2.3절 · 5번우리말 번역

다음 문제에서 직접 대입(치환)을 이용하여 각 극한의 값을 구하세요.

$\lim_{x\to 7}{x}^{2}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use direct substitution to evaluate each limit.

$\lim_{x\to 7}{x}^{2}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

49

원본 교재 풀이(영어)

49

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 7번

# 극한의 성질과 계산계산자동 분류

8.OpenStax 1권 · 2.3절 · 6번우리말 번역

다음 문제에서 직접 대입(치환)을 이용하여 각 극한의 값을 구하세요.

$\lim_{x\to -2}(4{x}^{2}-1)$

영어 원문 보기

In the following exercises, use direct substitution to evaluate each limit.

$\lim_{x\to -2}(4{x}^{2}-1)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 19번

# 극한의 성질과 계산계산자동 분류

9.OpenStax 1권 · 2.3절 · 7번우리말 번역

다음 문제에서 직접 대입(치환)을 이용하여 각 극한의 값을 구하세요.

$\lim_{x\to 0}\frac{1}{1+\sin x}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use direct substitution to evaluate each limit.

$\lim_{x\to 0}\frac{1}{1+\sin x}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

1

원본 교재 풀이(영어)

1

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 1번

# 극한의 성질과 계산계산자동 분류

10.OpenStax 1권 · 2.3절 · 8번우리말 번역

다음 연습문제에서 직접 치환을 이용하여 각 극한의 값을 구하세요.

$\lim_{x\to 2}{e}^{2x-{x}^{2}}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use direct substitution to evaluate each limit.

$\lim_{x\to 2}{e}^{2x-{x}^{2}}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.4절 · 50번

# 극한의 성질과 계산계산자동 분류

11.OpenStax 1권 · 2.3절 · 9번우리말 번역

다음 연습문제에서 직접 치환을 이용하여 각 극한의 값을 구하세요.

$\lim_{x\to 1}\frac{2-7x}{x+6}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use direct substitution to evaluate each limit.

$\lim_{x\to 1}\frac{2-7x}{x+6}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$-\frac{5}{7}$

원본 교재 풀이(영어)

$-\frac{5}{7}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 5번

# 극한의 성질과 계산계산자동 분류

12.OpenStax 1권 · 2.3절 · 10번우리말 번역

다음 연습문제에서 직접 치환을 이용하여 각 극한의 값을 구하세요.

$\lim_{x\to 3}\ln {e}^{3x}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use direct substitution to evaluate each limit.

$\lim_{x\to 3}\ln {e}^{3x}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 27번

# 극한의 성질과 계산계산자동 분류

13.OpenStax 1권 · 2.3절 · 12번우리말 번역

다음 연습문제에서 직접 치환을 이용하여 각 극한이 부정형 $0/0$ 이 됨을 보이세요. 그런 다음 극한의 값을 구하세요.

$\lim_{x\to 2}\frac{x-2}{{x}^{2}-2x}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use direct substitution to show that each limit leads to the indeterminate form $0/0.$ Then, evaluate the limit.

$\lim_{x\to 2}\frac{x-2}{{x}^{2}-2x}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 21번

# 극한의 성질과 계산증명·논술자동 분류

14.OpenStax 1권 · 2.3절 · 13번우리말 번역

다음 문제에서 직접 대입(치환)을 이용하여 각 극한이 부정형 $0/0$ 이 됨을 보이세요. 그런 다음 극한을 구하세요.

$\lim_{x\to 6}\frac{3x-18}{2x-12}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use direct substitution to show that each limit leads to the indeterminate form $0/0.$ Then, evaluate the limit.

$\lim_{x\to 6}\frac{3x-18}{2x-12}$

정답·풀이 보기

$\lim_{x\to 6}\frac{3x-18}{2x-12}=\frac{18-18}{12-12}=\frac{0}{0}$ 이다. 그러면 $\lim_{x\to 6}\frac{3x-18}{2x-12}=\lim_{x\to 6}\frac{3(x-6)}{2(x-6)}=\frac{3}{2}$

원본 교재 풀이(영어)

$\lim_{x\to 6}\frac{3x-18}{2x-12}=\frac{18-18}{12-12}=\frac{0}{0};$ then, $\lim_{x\to 6}\frac{3x-18}{2x-12}=\lim_{x\to 6}\frac{3(x-6)}{2(x-6)}=\frac{3}{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2장 복습 · 12번

# 극한의 성질과 계산증명·논술자동 분류

15.OpenStax 1권 · 2.3절 · 14번우리말 번역

다음 문제에서 직접 대입(치환)을 이용하여 각 극한이 부정형 $0/0$ 이 됨을 보이세요. 그런 다음 극한을 구하세요.

$\lim_{h\to 0}\frac{{(1+h)}^{2}-1}{h}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use direct substitution to show that each limit leads to the indeterminate form $0/0.$ Then, evaluate the limit.

$\lim_{h\to 0}\frac{{(1+h)}^{2}-1}{h}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 45번

# 극한의 성질과 계산증명·논술자동 분류

16.OpenStax 1권 · 2.3절 · 15번우리말 번역

다음 문제에서 직접 대입(치환)을 이용하여 각 극한이 부정형 $0/0$ 이 됨을 보이세요. 그런 다음 극한을 구하세요.

$\lim_{t\to 9}\frac{t-9}{\sqrt{t}-3}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use direct substitution to show that each limit leads to the indeterminate form $0/0.$ Then, evaluate the limit.

$\lim_{t\to 9}\frac{t-9}{\sqrt{t}-3}$

정답·풀이 보기

$\lim_{x\to 9}\frac{t-9}{\sqrt{t}-3}=\frac{9-9}{3-3}=\frac{0}{0}$ 이다. 그러면 $\lim_{t\to 9}\frac{t-9}{\sqrt{t}-3}=\lim_{t\to 9}\frac{t-9}{\sqrt{t}-3}\frac{\sqrt{t}+3}{\sqrt{t}+3}=\lim_{t\to 9}\left(\sqrt{t}+3\right)=6$

원본 교재 풀이(영어)

$\lim_{x\to 9}\frac{t-9}{\sqrt{t}-3}=\frac{9-9}{3-3}=\frac{0}{0};$ then, $\lim_{t\to 9}\frac{t-9}{\sqrt{t}-3}=\lim_{t\to 9}\frac{t-9}{\sqrt{t}-3}\frac{\sqrt{t}+3}{\sqrt{t}+3}=\lim_{t\to 9}\left(\sqrt{t}+3\right)=6$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2장 복습 · 10번

# 극한의 성질과 계산증명·논술자동 분류

17.OpenStax 1권 · 2.3절 · 16번우리말 번역

다음 문제에서 직접 대입(치환)을 이용하여 각 극한이 부정형 $0/0$ 이 됨을 보이세요. 그런 다음 극한을 구하세요.

$\lim_{h\to 0}\frac{\frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}}{h}$ , 단, a 는 0이 아닌 실수 상수이다.

영어 원문 보기

In the following exercises, use direct substitution to show that each limit leads to the indeterminate form $0/0.$ Then, evaluate the limit.

$\lim_{h\to 0}\frac{\frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}}{h},$ where a is a non-zero real-valued constant

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2장 복습 · 18번

# 극한의 성질과 계산증명·논술자동 분류

18.OpenStax 1권 · 2.3절 · 18번우리말 번역

다음 연습문제에서 직접 치환을 이용하여 각 극한이 부정형 $0/0$ 이 됨을 보이세요. 그런 다음 극한을 구하세요.

$\lim_{x\to 1}\frac{{x}^{3}-1}{{x}^{2}-1}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use direct substitution to show that each limit leads to the indeterminate form $0/0.$ Then, evaluate the limit.

$\lim_{x\to 1}\frac{{x}^{3}-1}{{x}^{2}-1}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.3절 · 3번

# 극한의 성질과 계산증명·논술자동 분류

19.OpenStax 1권 · 2.3절 · 19번우리말 번역

다음 연습문제에서 직접 치환을 이용하여 각 극한이 부정형 $0/0$ 이 됨을 보이세요. 그런 다음 극한을 구하세요.

$\lim_{x\to 1/2}\frac{2{x}^{2}+3x-2}{2x-1}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use direct substitution to show that each limit leads to the indeterminate form $0/0.$ Then, evaluate the limit.

$\lim_{x\to 1/2}\frac{2{x}^{2}+3x-2}{2x-1}$

정답·풀이 보기

$\lim_{x\to 1/2}\frac{2{x}^{2}+3x-2}{2x-1}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}-2}{1-1}=\frac{0}{0}$ ; 그러면 $\lim_{x\to 1/2}\frac{2{x}^{2}+3x-2}{2x-1}=\lim_{x\to 1/2}\frac{(2x-1)(x+2)}{2x-1}=\frac{5}{2}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$\lim_{x\to 1/2}\frac{2{x}^{2}+3x-2}{2x-1}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}-2}{1-1}=\frac{0}{0};$ then, $\lim_{x\to 1/2}\frac{2{x}^{2}+3x-2}{2x-1}=\lim_{x\to 1/2}\frac{(2x-1)(x+2)}{2x-1}=\frac{5}{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 21번

# 극한의 성질과 계산증명·논술자동 분류

20.OpenStax 1권 · 2.3절 · 20번우리말 번역

다음 연습문제에서 직접 치환을 이용하여 각 극한이 부정형 $0/0$ 이 됨을 보이세요. 그런 다음 극한을 구하세요.

$\lim_{x\to -3}\frac{\sqrt{x+4}-1}{x+3}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use direct substitution to show that each limit leads to the indeterminate form $0/0.$ Then, evaluate the limit.

$\lim_{x\to -3}\frac{\sqrt{x+4}-1}{x+3}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.3절 · 4번

# 극한의 성질과 계산증명·논술자동 분류