극한의 성질과 계산 연습문제 — OpenStax 1권 · 2.3절 · 29번

OpenStax 1권 · 2.3절 · 29번우리말 번역

다음 연습문제에서 $\lim_{x\to 6}f(x)=4,\lim_{x\to 6}g(x)=9$ 이고 $\lim_{x\to 6}h(x)=6$ 이라고 가정합니다. 이 세 가지 사실과 극한의 성질을 이용하여 각 극한의 값을 구하세요.

$\lim_{x\to 6}\sqrt{g(x)-f(x)}$

영어 원문 보기

In the following exercises, assume that $\lim_{x\to 6}f(x)=4,\lim_{x\to 6}g(x)=9,$ and $\lim_{x\to 6}h(x)=6.$ Use these three facts and the limit laws to evaluate each limit.

$\lim_{x\to 6}\sqrt{g(x)-f(x)}$

정답·풀이 보기

$\lim_{x\to 6}\sqrt{g(x)-f(x)}=\sqrt{\lim_{x\to 6}g(x)-\lim_{x\to 6}f(x)}=\sqrt{5}$

원본 교재 풀이(영어)

$\lim_{x\to 6}\sqrt{g(x)-f(x)}=\sqrt{\lim_{x\to 6}g(x)-\lim_{x\to 6}f(x)}=\sqrt{5}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 1.4절 · 50번우리말 번역

다음과 같이 두자. $f(x)=\left\{\begin{array}{lcc} \dfrac{x^2+8x+16}{x^2+30x-4}&,&x>-4\\ &\\ x^3+8x^2+16x&,&x\le-4 \end{array}\right.$

(a) $\displaystyle \lim_{x \to -4^-} f(x)$ 의 값을 구하세요. (b) $\displaystyle \lim_{x \to -4^+} f(x)$ 의 값을 구하세요. (c) $\displaystyle \lim_{x \to -4} f(x)$ 의 값을 구하세요.

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(a) $\displaystyle \lim_{x \to -4^-}f(x)$ 의 값을 구할 때는 $-4$ 보다 작은 $x$ 의 값만 생각한다. 이 값들에 대해 $f(x)=x^3+8x^2+16x$ 이다. 따라서 $\lim_{x \to -4^-}f(x)=\lim_{x \to -4^-} (x^3+8x^2+16x)=(-4)^3+8(-4)^2+16(-4)=0$ $x^3+8x^2+16x$ 는 다항식이므로 $x=-4$ 를 직접 대입하여 극한을 구할 수 있다.

(b) $\displaystyle \lim_{x \to -4^+}f(x)$ 의 값을 구할 때는 $-4$ 보다 큰 $x$ 의 값만 생각한다. 이 값들에 대해

$\begin{aligned} f(x)&=\frac{x^2+8x+16}{x^2+30x-4} \\ \text{따라서,} \\ \lim_{x \to -4^+}f(x)&=\lim_{x \to -4^+}\frac{x^2+8x+16}{x^2+30x-4} \\ \text{이 함수는 유리함수이고 $x=-4$ 는 정의역에 속하므로(0으로 나누는 것과 같은 문제가 없으므로) 이번에도 $x=-4$ 를 직접 대입하여 극한을 구할 수 있다:} \\ &=\frac{(-4)^2+8(-4)+16}{(-4)^2+30(-4)-4}=\frac{0}{-108}=0 \end{aligned}$

(c) $\displaystyle \lim_{x\to -4^-}f(x)=\displaystyle \lim_{x \to -4^+}f(x)=0$ 이므로 $\displaystyle \lim_{x \to -4}f(x)=0$ 이다.

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