함수의 연속 연습문제 — OpenStax 1권 · 2.4절 · 19번

OpenStax 1권 · 2.4절 · 19번우리말 풀이

다음 문제에서는 주어진 구간에서 각 함수가 연속이 되도록 하는 $k$ 의 값을 구하세요.

$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sqrt{kx}, & 0\le x\le 3 \\ x+1, & 3<x\le 10\end{array}\right.$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the value(s) of k that makes each function continuous over the given interval.

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\sqrt{kx}, & 0\le x\le 3 \\ x+1, & 3<x\le 10\end{array}$

답 쓰고 채점

풀이 보기

두 식이 이어지는 점 $x=3$ 에서 왼쪽 극한, 오른쪽 극한, 함숫값이 모두 같아야 해요.

1
어디를 살필지 정해요. 각 조각은 자기 구간에서는 연속이에요( $k>0$ 일 때 $\sqrt{kx}$ ). 문제는 두 식이 만나는 $x=3$ 이에요.
2
$x=3$ 에서의 값을 구해요. 왼쪽에서의 극한과 함숫값은 $\sqrt{3k}$ , 오른쪽에서의 극한은 $3+1=4$ 예요.
3
두 값이 같다고 놓아요. $\sqrt{3k}=4$ 의 양변을 제곱하면 $3k=16$ 이고, $k=\dfrac{16}{3}$ 이에요.
4
확인해요. $k=\dfrac{16}{3}$ 이면 $\sqrt{3\cdot\frac{16}{3}}=\sqrt{16}=4$ 로 오른쪽 값과 같아서 연속이에요.

답

$k=\dfrac{16}{3}$

자주 하는 실수

$x=3$ 에서 두 식의 값을 맞추지 않고 $\sqrt{kx}=x+1$ 을 $x$ 에 대한 방정식으로 풀려고 해요.

원본 교재 풀이(영어)

$k=\frac{16}{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 2.4절 · 9번

다음 문제에서는 주어진 점에서 함수가 연속인지 판단하세요. 불연속이라면 어떤 종류의 불연속인가요?

$f(x)=\dfrac{2x^{2}-5x+3}{x-1}$ , $x=1$ 에서

다 풀었으면 정답 확인

연속이 아니다. 제거 가능한 불연속이다.