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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속

함수의 연속

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 1권 · 2.4절 · 9번우리말 풀이

다음 문제에서는 주어진 점에서 함수가 연속인지 판단하세요. 불연속이라면 어떤 종류의 불연속인가요?

f(x)=2x2−5x+3x−1f(x)=\dfrac{2x^{2}-5x+3}{x-1}, x=1x=1 에서

영어 원문 보기

For the following exercises, decide if the function continuous at the given point. If it is discontinuous, what type of discontinuity is it?

f(x)=2x2−5x+3x−1f(x)=\frac{2{x}^{2}-5x+3}{x-1} at x=1x=1

풀이 보기

연속이 되려면 그 점에서 함숫값이 정의되고, 극한값이 있고, 둘이 같아야 해요.

  1. 1

    함숫값이 있는지 확인해요. x=1x=1 을 넣으면 분모가 00 이라서 f(1)f(1) 이 정의되지 않아요. 연속의 첫 조건부터 어긋나므로 연속이 아니에요.

  2. 2

    극한을 구해서 불연속의 종류를 판단해요. 분자를 인수분해하면 2x2−5x+3=(2x−3)(x−1)2x^2-5x+3=(2x-3)(x-1) 이에요.

    lim⁡x→1(2x−3)(x−1)x−1=lim⁡x→1(2x−3)=−1\lim_{x\to1}\frac{(2x-3)(x-1)}{x-1}=\lim_{x\to1}(2x-3)=-1

  3. 3

    결론을 내려요. 극한값 −1-1 은 존재하는데 함숫값이 없을 뿐이에요. f(1)=−1f(1)=-1 로 정의하면 이어 붙일 수 있는 불연속이니 제거 가능한 불연속이에요.

답

연속이 아니다. 제거 가능한 불연속이다.

자주 하는 실수

함숫값이 없으면 항상 점근선이 생기는 불연속이라고 생각해요. 극한값이 있으면 제거 가능한 불연속이에요.

원본 교재 풀이(영어)

No. It is a removable discontinuity.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 2.4절 · 39번

힘을 RR 에서 00 으로 만드는 대신, r≥Rr\ge R 에서 힘이 10−2010^{-20} 이 되도록 해 봐요. 양성자 두 개를 생각하고, 전하의 크기는 1.6022×10−19 C1.6022\times 10^{-19}\,\text{C}, 쿨롱 상수는 ke=8.988×109 Nm2/C2k_e=8.988\times 10^{9}\,\text{Nm}^2/\text{C}^2 라고 하세요. 이 계가 연속이 되게 하는 RR 의 값이 있을까요? 있다면 구하세요.

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m
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있어요. R≈0.0001519 mR\approx0.0001519\,\text{m}

자세한 풀이 보고 이어서 풀기
# 함수의 연속개념 확인기본

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