함수의 연속 연습문제 — OpenStax 1권 · 2.4절 · 21번

OpenStax 1권 · 2.4절 · 21번우리말 번역

직선을 따라 움직이는 입자의 시각 t 에서의 위치 함수 $s(t)$ 가 연속이라 하자. $s(2)=5$ 이고 $s(5)=2$ 라 하자. 또 다른 입자는 위치가 $h(t)=s(t)-t$ 로 주어지도록 움직인다. $2<c<5$ 이고 $h(c)=0$ 인 값 c 가 반드시 존재하는 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

A particle moving along a line has at each time t a position function $s(t),$ which is continuous. Assume $s(2)=5$ and $s(5)=2.$ Another particle moves such that its position is given by $h(t)=s(t)-t.$ Explain why there must be a value c for $2<c<5$ such that $h(c)=0.$

정답·풀이 보기

s 와 $y=t$ 는 모든 곳에서 연속이므로 $h(t)=s(t)-t$ 도 모든 곳에서 연속이고, 특히 닫힌구간 $[2,5]$ 에서 연속이다. 또한 $h(2)=3>0$ 이고 $h(5)=-3<0$ 이다. 따라서 사잇값 정리에 의해 $h(c)=0$ 인 값 $x=c$ 가 존재한다.

원본 교재 풀이(영어)

Since both s and $y=t$ are continuous everywhere, then $h(t)=s(t)-t$ is continuous everywhere and, in particular, it is continuous over the closed interval $[2,5].$ Also, $h(2)=3>0$ and $h(5)=-3<0.$ Therefore, by the IVT, there is a value $x=c$ such that $h(c)=0.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 2.4절 · 27번우리말 번역

성질 i.부터 vi.까지를 만족하는 함수 $y=f(x)$ 의 그래프를 그리세요.

i. f 의 정의역은 $(-\infty ,+\infty )$ 이다. ii. f 는 $x=-6$ 에서 무한 불연속이다. iii. $f(-6)=3$ iv. $\lim_{x\to {-3}^{-}}f(x)=\lim_{x\to {-3}^{+}}f(x)=2$ v. $f(-3)=3$ vi. f 는 $x=3$ 에서 좌연속이지만 우연속은 아니다.

다 풀었으면 정답 확인

답은 여러 가지가 가능하다. 다음은 한 예이다.

여러 선분과 곡선으로 이루어진 구간별로 정의된 함수의 그래프이다. 첫 번째는 x < -8 에서 존재하는 증가하는 직선이다. 이 직선은 (-8,-8)에서 속이 빈 원으로 끝난다. 두 번째는 -8 <= x < -6 에서 존재하는 증가하는 곡선이다. 이 곡선은 (-8, 0 )에서 속이 찬 원으로 시작하며, x가 왼쪽에서 -6에 가까워질 때 무한대로 발산한다. 세 번째는 점 (-6, 3)에 있는 속이 찬 원이다. 네 번째는 -6 < x <= 3 에서 존재하는 직선이다. 이 직선은 (-6, 2)에서 속이 빈 원으로 시작하여 (3,2)에서 속이 찬 원으로 끝난다. 다섯 번째는 (3,3)에서 속이 빈 원으로 시작하는 증가하는 직선이다. 이 직선은 x > 3 에서 존재한다.

이 문제로 이어서 풀기

# 함수의 연속계산자동 분류