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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속

함수의 연속

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 1권 · 2.4절 · 39번우리말 풀이

힘을 RR 에서 00 으로 만드는 대신, r≥Rr\ge R 에서 힘이 10−2010^{-20} 이 되도록 해 봐요. 양성자 두 개를 생각하고, 전하의 크기는 1.6022×10−19 C1.6022\times 10^{-19}\,\text{C}, 쿨롱 상수는 ke=8.988×109 Nm2/C2k_e=8.988\times 10^{9}\,\text{Nm}^2/\text{C}^2 라고 하세요. 이 계가 연속이 되게 하는 RR 의 값이 있을까요? 있다면 구하세요.

영어 원문 보기

Instead of making the force 0 at R, instead we let the force be 10−20 for r≥R.r\ge R. Assume two protons, which have a magnitude of charge 1.6022 × 10−19 C,1.6022\,\times \,{10}^{-19}\,\text{C}, and the Coulomb constant ke=8.988 × 109Nm2/C2.{k}_{e}=8.988\,\times \,{10}^{9}{\text{Nm}}^{2}/{\text{C}}^{2}. Is there a value R that can make this system continuous? If so, find it.

답 쓰고 채점
m
풀이 보기

경계 r=Rr=R 에서 쿨롱 힘 keq2R2\dfrac{k_eq^2}{R^2} 이 주어진 값 10−2010^{-20} 과 같아야 연속이에요.

  1. 1

    조건을 세워요. 두 전하 사이의 쿨롱 힘은 F=keq2r2F=\dfrac{k_eq^2}{r^2} 이에요. r=Rr=R 에서 이 힘이 10−2010^{-20} 과 같아야 두 식이 이어져요. (이 문제의 앞 부분에 나온 쿨롱 힘의 식을 썼어요.)

    keq2R2=10−20\frac{k_eq^2}{R^2}=10^{-20}

  2. 2

    R2R^2 에 대해 풀어요. R2=keq210−20R^2=\dfrac{k_eq^2}{10^{-20}} 이에요.

  3. 3

    값을 넣어 계산해요. q2=(1.6022×10−19)2≈2.5670×10−38q^2=(1.6022\times10^{-19})^2\approx2.5670\times10^{-38} 이고 keq2≈8.988×109×2.5670×10−38≈2.3073×10−28k_eq^2\approx8.988\times10^{9}\times2.5670\times10^{-38}\approx2.3073\times10^{-28} 이므로

    R2≈2.3073×10−2810−20=2.3073×10−8R^2\approx\frac{2.3073\times10^{-28}}{10^{-20}}=2.3073\times10^{-8}

  4. 4

    제곱근을 취해요. R>0R>0 이므로 R=2.3073×10−8≈1.519×10−4 mR=\sqrt{2.3073\times10^{-8}}\approx1.519\times10^{-4}\,\text{m} 예요.

답

있어요. R≈0.0001519 mR\approx0.0001519\,\text{m}

자주 하는 실수

단위와 지수를 잘못 계산해요. 특히 q2q^2 에서 10−1910^{-19} 도 함께 제곱해야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

R=0.0001519 mR=0.0001519\,\text{m}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 1.6절 · 3번우리말 번역

구간 [0,2][0,2] 에서 정의된 함수 f(x)f(x) 중에서 f(0)=0f(0)=0, f(2)=2f(2)=2 이고 f(x)f(x) 가 1이 되는 경우가 없는 예를 (그래프나 식으로) 하나 드세요. 이것이 사잇값 정리(IVT)와 모순되지 않는 이유를 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

한 가지 예는 f(x)={00≤x≤1 일 때21<x≤2 일 때f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0&0 \leq x \leq 1 \text{ 일 때}\\ 2&1<x \leq 2 \text{ 일 때} \end{array}\right. 이다. 사잇값 정리(IVT)는 ff 가 [0,2][0,2] 에서 연속일 때에만 [0,2][0,2] 의 어떤 cc 에 대해 f(c)=1f(c)=1 임을 보장한다. ff 가 연속이 아니면 사잇값 정리(IVT)는 아무것도 말해 주지 않는다.

그림

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# 함수의 연속활용보통

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