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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

평균변화율과 미분계수

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 1권 · 3.1절 · 29번우리말 풀이

다음 함수 y=f(x)y=f(x) 에 대해 f′(a)=lim⁡x→af(x)−f(a)x−af'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} 를 이용해 f′(a)f'(a) 를 구하세요.

f(x)=1x3, a=1f(x)=\dfrac{1}{x^3},\ a=1

영어 원문 보기

For the following functions y=f(x),y=f(x), find f′(a){f}^{'}(a) using f′(a)=lim⁡x→af(x)−f(a)x−a{f}^{'}(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.

f(x)=1x3,a=1f(x)=\frac{1}{{x}^{3}},a=1

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분수식은 먼저 통분하고, 0/00/0 꼴이 되면 인수분해해서 x−1x-1 을 약분해요.

  1. 1

    정의 식에 대입해요. f(1)=1f(1)=1 이므로 f′(1)=lim⁡x→11x3−1x−1f'(1)=\lim_{x\to 1}\frac{\frac{1}{x^3}-1}{x-1}

  2. 2

    분자를 통분해요. 1x3−1=1−x3x3\dfrac{1}{x^3}-1=\dfrac{1-x^3}{x^3} 이므로 1−x3x3(x−1)\frac{1-x^3}{x^3(x-1)} 이 돼요. 그대로 x=1x=1 을 넣으면 00\frac00 꼴이라 더 정리해야 해요.

  3. 3

    인수분해로 약분해요. 1−x3=−(x−1)(x2+x+1)1-x^3=-(x-1)(x^2+x+1) 이므로 −(x−1)(x2+x+1)x3(x−1)=−x2+x+1x3(x≠1)\frac{-(x-1)(x^2+x+1)}{x^3(x-1)}=-\frac{x^2+x+1}{x^3}\quad(x\neq 1)

  4. 4

    극한값을 구해요. x→1x\to 1 이면 −1+1+11=−3-\dfrac{1+1+1}{1}=-3 이에요. 그러므로 f′(1)=−3f'(1)=-3 이에요.

답

−3-3

자주 하는 실수

1−x31-x^3 의 부호를 잘못 처리해 답의 부호가 바뀌는 실수가 많아요. x3−1=(x−1)(x2+x+1)x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) 에서 부호를 확인하세요.

원본 교재 풀이(영어)

−3-3

한 번 더 — 비슷한 문제APEX · 2.2절 · 8번우리말 번역

f(7)=26f(7)=26 이고 f(8)=22f(8) = 22 일 때, f ′(7)f\,'(7) 을 어림하세요.

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