삼각함수의 미분

(a) 정의에 의해 $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h}\,.$$ 사인 함수의 두 각의 합 공식에 의해 $\sin(x+h) = \sin(x)\cos(h) + \cos(x)\sin(h)$ 이므로 $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x)\cos(h) + \cos(x)\sin(h) - \sin(x)}{h}$$ .. 첫째 항과 마지막 항을 묶고 $\sin(x)$ 를 공통인수로 묶어 내면 $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{ \sin(x)(\cos(h)-1) + \cos(x)\sin(h) - \sin(x) }{h}$$ .. (b) (a)에서 이어서, 분자의 각 부분을 $h$ 로 나누면 다음과 같다. $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \left( \frac{\sin(x) (\cos(h)-1) }{h} + \frac{\cos(x)\sin(h)}{h} \right)\,.$$ 다음으로, $\sin(x)$ 는 $h$ 에 의존하지 않고, 마찬가지로 $\cos(x)$ 도 $h$ 와 무관하다. 따라서 이들을 상수로 보아 극한 기호 밖으로 낼 수 있고, 또 합의 극한은 극한의 합과 같다. 그러므로 다음과 같이 쓸 수 있다. $$f'(x) = \sin(x) \cdot \lim_{h \to 0} \left( \frac{\cos(h)-1}{h} \right) + \cos(x) \cdot \lim_{h \to 0} \left( \frac{\sin(h)}{h} \right)\,.$$ (c) 작은 양수와 음수인 $h$ 의 값을 이용하여 구하려는 극한을 어림하면 $$\lim_{h \to 0} \left( \frac{\cos(h)-1}{h} \right) = 0$$ 이고 $$\lim_{h \to 0} \left( \frac{\sin(h)}{h} \right) = 1$$ 임을 알 수 있다. 각 경우에 $h = \pm 0.01, \pm 0.001, \pm 0.0001$ 의 $h$ 값을 살펴보면 충분하다. (d) (b)와 (c)의 결과를 합치면 다음을 얻는다. $$f'(x) = \sin(x) \cdot \lim_{h \to 0} \left( \frac{\cos(h)-1}{h} \right) + \cos(x) \cdot \lim_{h \to 0} \left( \frac{\sin(h)}{h} \right) = \sin(x) \cdot 0 + \cos(x) \cdot 1 = \cos(x)\,.$$ (e) $\frac{d}{dx}[\cos(x)] = -\sin(x)$ 임을 보이는 논증은 거의 같다. 다만 $\cos(\alpha + \beta)$ 에 대한 두 각의 합 공식은 $\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) - \sin(\alpha) \sin(\beta)$ 임에 유의한다.