합성함수의 미분법

(a) $h = 1$ 인 순간에 $\frac{dV}{dh}$ ($V$ 를 독립변수 $h$ 에 대해 미분한 도함수)를 구하는 문제이다. 먼저 $V$ 를 전개하여 $$V = \frac{\pi}{3}\left(12h^2 - h^3\right)$$ 으로 쓰면 $$\frac{dV}{dh} = \frac{\pi}{3} \left(24h - 3h^2\right) = \pi \left(8h-h^2 \right)\,,$$ 이고 단위는 “피트당 세제곱피트”이다. $h=1$ 에서의 값을 구하면 $$\left. \frac{dV}{dh} \right|_{h=1} = \pi \left(8 \cdot 1 - 1^2 \right) = 7\pi$$ 이다. (b) $h(t) = \sin(\pi t) + 1$ 이므로 $t$ 에 대한 $h$ 의 순간변화율은 $h'(t) = \pi \cos(\pi t)$ 이고, 따라서 $h'(2) = \pi \cos(2\pi) = \pi$ 시간당 피트이다. (c) 먼저 $V$ 를 독립변수 $t$ 에 대해 미분한 도함수 $\frac{dV}{dt}$ 를 구한다. 여기서 $V$ 를 $t$ 의 함수로 $V(t) = \frac{\pi}{3}\left(12(h(t))^2 - (h(t))^3\right)$ 과 같이 쓸 수 있고, $h(t) = \sin(\pi t) + 1$ 이다. 연쇄 법칙에 의해 $$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{3}\left( 12 \cdot 2 h(t) \cdot h'(t) - 3 (h(t))^2 \cdot h'(t) \right)$$ 이고, $h(t) = \sin(\pi t) + 1$ 과 $h'(t) = \pi \cos(\pi t)$ 를 이용하면 $$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{3}\left[ 12 \cdot 2 (\sin(\pi t) + 1) \cdot \pi \cos(\pi t) - 3 (\sin(\pi t) + 1)^2 \cdot \pi \cos(\pi t) \right]$$ 이며 단위는 “시간당 피트”이다. 이제 $t=2$ 일 때의 $\frac{dV}{dt}$ 를 구한다. 위에서 구한 결과를 이용하면 $$\left. \frac{dV}{dt} \right|_{t=2} = \frac{\pi}{3}\left[ 12 \cdot 2 (\sin(2\pi) + 1) \cdot \pi \cos(2\pi) - 3 (\sin(2\pi) + 1)^2 \cdot \pi \cos(2\pi) \right] = 7 \pi^2$$ 시간당 세제곱피트이다. (d) (a)에서는 탱크 안 물의 높이를 증가시킬 때 부피가 변하는 순간변화율을 구하고, (c)에서는 시간이 증가할 때 부피가 변하는 순간변화율을 구한다. 첫 번째 계산은 직접적인 계산이고, 두 번째 계산은 $V$ 와 시간의 함수인 $h$ 의 합성을 포함하므로 보다 간접적이다. 후자의 경우 $h$ 와 $V$ 모두 시간의 함수이므로, $V$ 가 $h$ 의 함수로서 어떻게 변하는지뿐만 아니라 $t$ 의 함수로서 어떻게 변하는지도 생각할 수 있다.