합성함수의 미분법 연습문제 — OpenStax 1권 · 3.6절 · 42번

OpenStax 1권 · 3.6절 · 42번우리말 번역

[계산기 사용] 씬 민트 걸스카우트 쿠키 $x$ 상자를 생산하는 데 드는 총비용은 $C$ 달러이고, $C=0.0001{x}^{3}-0.02{x}^{2}+3x+300$ 입니다. $t$ 주 후의 생산량은 $x=1600+100t$ 상자로 추정됩니다.

a. 한계비용 ${C}^{'}(x)$ 을 구하세요. b. 연쇄 법칙의 라이프니츠 표기 $\frac{dC}{dt}=\frac{dC}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}$ 를 이용하여 시간 $t$ 에 대한 비용의 변화율을 구하세요. c. b를 이용하여 $t=2$ 주일 때 비용이 얼마나 빠르게 증가하는지 구하세요. 답에 단위를 포함하세요.

영어 원문 보기

[T] The total cost to produce $x$ boxes of Thin Mint Girl Scout cookies is $C$ dollars, where $C=0.0001{x}^{3}-0.02{x}^{2}+3x+300.$ In $t$ weeks production is estimated to be $x=1600+100t$ boxes.

a. Find the marginal cost ${C}^{'}(x).$ b. Use Leibniz’s notation for the chain rule, $\frac{dC}{dt}=\frac{dC}{dx}\cdot \frac{dx}{dt},$ to find the rate with respect to time $t$ that the cost is changing. c. Use b. to determine how fast costs are increasing when $t=2$ weeks. Include units with the answer.

정답·풀이 보기

a. ${C}^{'}(x)=0.0003{x}^{2}-0.04x+3$ b. $\frac{dC}{dt}=100\cdot (0.0003{x}^{2}-0.04x+3)$ c. 주당 약 $90,300

원본 교재 풀이(영어)

a. ${C}^{'}(x)=0.0003{x}^{2}-0.04x+3$ b. $\frac{dC}{dt}=100\cdot (0.0003{x}^{2}-0.04x+3)$ c. Approximately $90,300 per week

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 2.5절 · 11번우리말 번역

기본 함수 $f(x) = x^3$ 과 $g(x) = \sin(x)$ 를 생각하세요.

(a) $h(x) = f(g(x))$ 라 하자. $x = \frac{\pi}{4}$ 인 점에서 $h$ 의 순간변화율의 정확한 값을 구하세요. (b) $x = 0.25$ 에서 $h(x) = f(g(x))$ 와 $r(x) = g(f(x))$ 중 어느 함수가 가장 빠르게 변하고 있나요? 그 이유는 무엇인가요? (c) $h(x) = f(g(x))$ , $r(x) = g(f(x))$ 라 하자. 이 두 함수 중 도함수가 주기적인 것은 어느 것인가요? 그 이유는 무엇인가요?

다 풀었으면 정답 확인

(a) $h(x) = f(g(x))$ 이므로 연쇄 법칙에 의해 $h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ 이다. $f(x)=x^3$ , $g(x) = \sin(x)$ 이므로 $f'(x) = 3x^2$ , $f'(g(x)) = 3\sin^2(x)$ , $g'(x) = \cos(x)$ 이다. 따라서 $h'(x) = 3\sin^2(x) \cdot \cos(x)$ 이고, $h'\left( \frac{\pi}{4} \right) = 3 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}$ 이다. (b) $r'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x) = \cos(x^3) \cdot 3x^2$ 임에 주목한다. 따라서 $r'(0.25) = \cos(0.25^3) \cdot 3(0.25)^2 \approx 0.1875$ 이고, (a)의 결과를 이용하면 $h'(0.25) = 3\sin^2(0.25) \cdot \cos(0.25) \approx 0.1779$ 이다. 그러므로 $|h'(0.25) < r'(0.25)|$ 이므로 $r$ 이 더 빠르게 변하고 있음을 알 수 있다. (c) (a)와 (b)에서 $h'(x) = 3\sin^2(x) \cdot \cos(x)$ , $r'(x) = \cos(x^3) \cdot 3x^2$ 임을 확인했다. $h'(x)$ 의 곱을 이루는 두 부분이 모두 주기함수이므로 $h'(x)$ 는 (주기 $2\pi$ 로) 주기적이다. 그러나 $x$ 가 증가함에 따라 $3x^2$ 은 한없이 커지므로 $r'(x)$ 는 주기적이지 않다.

이 문제로 이어서 풀기

# 합성함수의 미분법활용자동 분류