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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 미분법

역함수의 미분법

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 1권 · 3.7절 · 18번우리말 풀이

주어진 각 함수 y=f(x)y=f(x) 에 대하여 a. 점 PP 에서 역함수 f−1f^{-1} 의 그래프에 접하는 접선의 기울기를 구하고, b. 그 점에서 f−1f^{-1} 의 그래프에 접하는 접선의 방정식을 구하세요.

f(x)=−x3−x+2, P(−8,2)f(x)=-{x}^{3}-x+2,\ P(-8,2)

영어 원문 보기

For each of the given functions y=f(x),y=f(x), a. find the slope of the tangent line to its inverse function f−1{f}^{-1} at the indicated point P,P, and b. find an equation of the tangent line to the graph of f−1{f}^{-1} at the indicated point.

f(x)=−x3−x+2,P(−8,2)f(x)=-{x}^{3}-x+2,P(-8,2)

답 쓰고 채점
(a)
(b)
풀이 보기

(f−1)′(b)=1f′(a)(f^{-1})'(b)=\dfrac{1}{f'(a)} (b=f(a)b=f(a)) 이므로, 역함수의 기울기는 원래 함수 기울기의 역수예요.

  1. 1

    점 P(−8,2)P(-8,2) 는 역함수 f−1f^{-1} 의 그래프 위의 점이에요. 즉 f−1(−8)=2f^{-1}(-8)=2 이고, 원래 함수에서는 f(2)=−8f(2)=-8 이에요. 직접 확인하면 f(2)=−8−2+2=−8f(2)=-8-2+2=-8 로 맞아요.

  2. 2

    원래 함수의 도함수는 f′(x)=−3x2−1f'(x)=-3x^2-1 이에요. x=2x=2 에서

    f′(2)=−12−1=−13f'(2)=-12-1=-13

  3. 3

    (a) 역함수의 미분법에 의해

    (f−1)′(−8)=1f′(2)=−113(f^{-1})'(-8)=\frac{1}{f'(2)}=-\frac{1}{13}

  4. 4

    (b) 점 (−8,2)(-8,2) 를 지나고 기울기가 −113-\frac{1}{13} 인 직선이에요.

    y−2=−113(x+8)y-2=-\frac{1}{13}(x+8)

    y=−113x−813+2=−113x+1813y=-\frac{1}{13}x-\frac{8}{13}+2=-\frac{1}{13}x+\frac{18}{13}

답

(a) −113-\dfrac{1}{13} (b) y=−113x+1813y=-\dfrac{1}{13}x+\dfrac{18}{13}

자주 하는 실수

f′(−8)f'(-8) 처럼 f′f' 에 −8-8 을 넣어요. f′f' 에는 f(a)=−8f(a)=-8 이 되는 a=2a=2 를 넣어야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

a. −113,-\frac{1}{13}, b. y=−113x+1813y=-\frac{1}{13}x+\frac{18}{13}

한 번 더 — 비슷한 문제APEX · 2.7절 · 3번우리말 번역

점 (1,10)(1,10) 이 y=f(x)y=f(x) 의 그래프 위에 있을 때, y=f−1(x)y=f^{-1}(x) 의 그래프에 대해 무엇을 말할 수 있는지 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

점 (10,1)(10,1) 은 y=f−1(x)y=f^{-1}(x) 의 그래프 위에 있다(ff 가 역함수를 갖는다고 가정한다).

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