역함수의 미분법 연습문제 — OpenStax 1권 · 3.7절 · 40번

OpenStax 1권 · 3.7절 · 40번우리말 번역

[계산기 사용] 앉았을 때 사람의 눈높이보다 10피트 위에서 시작하는 높이 30피트의 스크린이 있는 한 동네 영화관에서, 시야각 $\theta$ (단위: 라디안)는 다음과 같이 주어진다.

$\theta ={\cot }^{-1}\frac{x}{40}-{\cot }^{-1}\frac{x}{10}$ ,

여기서 $x$ 는 다음 그림과 같이 사람이 앉아 있는 곳에서 영화 스크린까지의 거리(단위: 피트)이다.

한 사람의 눈에서 시작하는 직각삼각형이 그려져 있다. 직각은 눈의 반대쪽에 있으며, 높이는 10, 밑변은 x 이다. 눈에서 스크린의 위쪽 끝까지 선이 그어져 있고, 이 선은 삼각형의 빗변과 각 θ 를 이룬다. 스크린의 높이는 30 이다.

a. $\frac{d\theta }{dx}$ 를 구하세요. b. $x=5,10,15$ , 그리고 20 일 때 $\frac{d\theta }{dx}$ 의 값을 구하세요. c. b의 결과를 해석하세요. d. $x=25,30,35$ , 그리고 40 일 때 $\frac{d\theta }{dx}$ 의 값을 구하세요. e. d의 결과를 해석하세요. 시야각을 최대로 하려면 사람은 스크린에서 얼마의 거리 $x$ 에 앉아야 하는지 구하세요.

영어 원문 보기

[T] A local movie theater with a 30-foot-high screen that is 10 feet above a person’s eye level when seated has a viewing angle $\theta$ (in radians) given by $\theta ={\cot }^{-1}\frac{x}{40}-{\cot }^{-1}\frac{x}{10},$

where $x$ is the distance in feet away from the movie screen that the person is sitting, as shown in the following figure.

A person is shown with a right triangle coming from their eye (the right angle being on the opposite side from the eye), with height 10 and base x. There is a line drawn from the eye to the top of the screen, which makes an angle θ with the triangle’s hypotenuse. The screen has a height of 30.

a. Find $\frac{d\theta }{dx}.$ b. Evaluate $\frac{d\theta }{dx}$ for $x=5,10,15,$ and 20. c. Interpret the results in b.. d. Evaluate $\frac{d\theta }{dx}$ for $x=25,30,35,$ and 40 e. Interpret the results in d. At what distance $x$ should the person sit to maximize his or her viewing angle?

정답·풀이 보기

a. $\frac{d\theta }{dx}=\frac{10}{100+{x}^{2}}-\frac{40}{1600+{x}^{2}}$ b. $\frac{18}{325},\frac{9}{340},\frac{42}{4745},0$ c. 사람이 스크린에서 멀어질수록 시야각이 증가하므로, 멀어질수록 스크린이 보이는 시야가 넓어진다. d. $-\frac{54}{12905},-\frac{3}{500},-\frac{198}{29945},-\frac{9}{1360}$ e. 스크린에서 20피트보다 더 멀어지면 시야각은 감소한다. 시야각을 최대로 하기 위해 사람이 서 있어야 할 최적의 거리는 20피트이다.

원본 교재 풀이(영어)

a. $\frac{d\theta }{dx}=\frac{10}{100+{x}^{2}}-\frac{40}{1600+{x}^{2}}$ b. $\frac{18}{325},\frac{9}{340},\frac{42}{4745},0$ c. As a person moves farther away from the screen, the viewing angle is increasing, which implies that as he or she moves farther away, his or her screen vision is widening. d. $-\frac{54}{12905},-\frac{3}{500},-\frac{198}{29945},-\frac{9}{1360}$ e. As the person moves beyond 20 feet from the screen, the viewing angle is decreasing. The optimal distance the person should stand for maximizing the viewing angle is 20 feet.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 3.7절 · 10번우리말 번역

다음 각 함수에 대해 ${({f}^{-1})}^{'}(a)$ 를 구하세요.

$f(x)={x}^{3}+2x+3,a=0$

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$\frac{1}{5}$

이 문제로 이어서 풀기

# 역함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류