여러 가지 함수의 적분 연습문제 — OpenStax 1권 · 4.10절 · 41번

OpenStax 1권 · 4.10절 · 41번우리말 풀이

다음 문제에서 이계도함수 또는 삼계도함수가 주어졌을 때, 가능한 함수 $f$ 를 두 가지 구하세요.

$f''(x)=e^{-x}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find two possible functions $f$ given the second- or third-order derivatives.

${f}^{''}(x)={e}^{-x}$

풀이 보기

$f''$ 을 두 번 적분하면 $f$ 가 되고, 적분할 때마다 상수가 생겨서 답이 여러 개예요.

1
먼저 $f''(x)=e^{-x}$ 를 한 번 적분해 $f'$ 을 구해요. $(e^{-x})'=-e^{-x}$ 이므로 $\int e^{-x}dx=-e^{-x}$ 예요. 따라서 $f'(x)=-e^{-x}+C_1$ 이에요.
2
한 번 더 적분해요. $\int(-e^{-x})dx=e^{-x}$ 이므로 $f(x)=e^{-x}+C_1x+C_2$ 예요.
3
$C_1$ , $C_2$ 는 아무 상수나 될 수 있어요. $C_1=C_2=0$ 으로 놓으면 $f(x)=e^{-x}$ 이고, $C_1=1$ , $C_2=0$ 으로 놓으면 $f(x)=e^{-x}+x$ 예요. 둘 다 두 번 미분하면 $e^{-x}$ 가 되는지 확인해 봐요.

답

예시 답: $f(x)=e^{-x}$ 와 $f(x)=e^{-x}+x$

자주 하는 실수

적분상수를 하나( $C$ )만 붙여요. 두 번 적분하면 상수가 두 개 생겨요.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary; one possible answer is $f(x)={e}^{-x}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 4.10절 · 27번

다음 문제에서 적분을 구하세요.

$\int \sin x\,dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

다 풀었으면 정답 확인

$-\cos x+C$