이계도함수와 오목·볼록 연습문제 — OpenStax 1권 · 4.5절 · 18번

OpenStax 1권 · 4.5절 · 18번우리말 풀이

다음 문제에서 $f'$ 의 그래프를 분석하여, 변곡점을 모두 쓰고 $f$ 가 아래로 볼록한 구간과 위로 볼록한 구간을 구하세요.

함수 f'(x) 의 그래프. 함수는 직선이며 음수에서 시작해 원점에서 x축과 만난다.

영어 원문 보기

For the following exercises, analyze the graphs of ${f}^{'},$ then list all inflection points and intervals where $f$ is concave up and concave down.

The function f’(x) is graphed. The function is linear and starts negative. It crosses the x axis at the origin.

풀이 보기

$f$ 의 오목·볼록은 $f''$ 의 부호로 정해지고, $f''$ 은 $f'$ 그래프의 기울기예요.

1
왜 이렇게 할까요? 그래프가 $f$ 가 아니라 $f'$ 예요. $f''$ 은 $f'$ 를 미분한 것이니, $f'$ 그래프가 오르는지 내리는지(기울기의 부호)만 보면 돼요.
2
그래프를 읽어요. $f'(x)$ 는 원점을 지나는 직선이고 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 올라가요. 즉 기울기가 양수인 일차함수 모양이에요.
3
$f''$ 의 부호를 알아내요. 직선의 기울기는 어디서나 같고 양수이므로 모든 $x$ 에서 $f''(x)>0$ 이에요.
4
결론을 내려요. $f''>0$ 이면 $f$ 는 아래로 볼록해요. 모든 $x$ 에서 부호가 같으므로 $f''$ 의 부호가 바뀌는 곳이 없고, 변곡점도 없어요. (참고로 $f'$ 가 $x=0$ 에서 0 이므로 $x=0$ 은 $f$ 의 극소점이지만, 변곡점은 아니에요.)

답

모든 $x$ 에서 아래로 볼록, 변곡점 없음

자주 하는 실수

$f'$ 가 0 이 되는 점 $x=0$ 을 변곡점으로 착각해요. 변곡점은 $f''$ 의 부호가 바뀌는 점이에요.

원본 교재 풀이(영어)

Concave up on all $x,$ no inflection points

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 3.4절 · 24번

[계산기 사용] 홀링 3형 식은 $f(x)=\frac{ax^2}{n^2+x^2}$ 로 나타내요. 여기서 $x$ 는 먹이의 양이고, $a>0$ 는 포식자의 최대 섭취율이에요.

a. $a=0.5$ , $n=5$ 일 때 홀링 3형 식의 그래프를 그리세요. 홀링 2형 식과 3형 식은 어떤 점이 다른가? b. 홀링 3형 식을 미분하고, 도함수의 물리적 의미를 해석하세요. c. 이계도함수를 구하고 그 의미를 해석하시오(이계도함수의 그래프를 그려 보면 도움이 돼요). d. 홀링 2형 함수와 비교할 때, 홀링 3형 함수는 어떤 생태 현상을 더 설명하는가?

다 풀었으면 정답 확인

(a) 원점에서 시작하는 S자 모양 (b) $f'(x)=\frac{2axn^2}{(n^2+x^2)^2}$ , 먹이가 늘면 섭취 증가 (c) $f''(x)=\frac{2an^2(n^2-3x^2)}{(n^2+x^2)^3}$ , $x=\frac{n}{\sqrt3}$ 에서 증가 속도의 변화 방향이 바뀜 (d) 먹이가 적을 때 발견되기 어려워 섭취가 적은 현상

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

# 이계도함수와 오목·볼록그래프·표 해석보통