함수의 그래프 그리기 연습문제 — OpenStax 1권 · 4.5절 · 30번

OpenStax 1권 · 4.5절 · 30번우리말 풀이

다음 문제에서 a. $f$ 가 아래로 볼록 또는 위로 볼록한 구간, b. $f$ 의 변곡점을 구하세요.

$f(x)=x^3-4x^2+x+2$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine a. intervals where $f$ is concave up or concave down, and b. the inflection points of $f.$

$f(x)={x}^{3}-4{x}^{2}+x+2$

풀이 보기

이계도함수 $f''$ 의 부호가 양수이면 아래로 볼록, 음수이면 위로 볼록이고, 부호가 바뀌는 점이 변곡점이에요.

1
이계도함수를 구해요. $f'(x)=3x^2-8x+1$ 이고 다시 미분하면 $f''(x)=6x-8$
2
$f''=0$ 인 점을 찾아요. $6x-8=0$ 에서 $x=\dfrac43$ 이에요.
3
a: 부호를 구간별로 살펴요. $x>\tfrac43$ 이면 $f''(x)>0$ 이라 아래로 볼록이고, $x<\tfrac43$ 이면 $f''(x)<0$ 이라 위로 볼록이에요.
4
b: 변곡점이에요. $x=\tfrac43$ 의 앞뒤에서 $f''$ 의 부호가 바뀌므로 변곡점이에요. $y$ 좌표는 $f\!\left(\tfrac43\right)=\tfrac{64}{27}-\tfrac{64}{9}+\tfrac43+2=-\tfrac{38}{27}$ 이므로 변곡점은 $\left(\tfrac43,-\tfrac{38}{27}\right)$ 예요.

답

a. $x>\frac43$ 에서 아래로 볼록, $x<\frac43$ 에서 위로 볼록 b. 변곡점 $x=\frac43$ , 즉 $\left(\frac43,-\frac{38}{27}\right)$

자주 하는 실수

$f''(x)=0$ 인 점이라고 해서 모두 변곡점은 아니에요. 앞뒤 부호가 바뀌는지 확인하세요.

원본 교재 풀이(영어)

a. Concave up for $x>\frac{4}{3},$ concave down for $x<\frac{4}{3}$ b. Inflection point at $x=\frac{4}{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 4.5절 · 6번

위로 볼록한 함수는 어떤 $x$ 값에서 반드시 $y=0$ 을 지나야 하는지 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

거짓. 예를 들어 $y=-x^2-1$ (또는 $y=\sqrt{x}$ 의 $x>0$ 부분)은 위로 볼록하지만 $y=0$ 을 지나지 않는다