함수의 그래프 그리기

(a) $m$ 과 $s$ 를 상수로 보고 연쇄 법칙을 적용하면, $$E'(x) = e^{-\frac{(x-m)^2}{2s^2}} \cdot \frac{d}{dx}\left[ -\frac{(x-m)^2}{2s^2} \right] = e^{-\frac{(x-m)^2}{2s^2}} \cdot \left[ -\frac{2(x-m)}{2s^2} \right]$$ $E'(x)$ 는 모든 $x$ 의 값에서 정의되므로, 임계수는 $E'(x) = 0$ 인 곳에서만 나타난다. $e$ 의 거듭제곱은 결코 0이 되지 않으므로, $E'(x) = 0$ 이 되는 방법은 $\left[ -\frac{2(x-m)}{2s^2} \right] = 0$ 인 경우뿐이고, 이로부터 $x = m$ 이다. 따라서 $x = m$ 이 $E$ 의 유일한 임계수이다. (b) (a)에서 보았듯이 $x = m$ 이 $E$ 의 유일한 임계수이다. 게다가 $e$ 의 거듭제곱은 항상 양수이므로, $E'(x)$ 의 부호는 전적으로 식 $-\frac{2(x-m)}{2s^2} = -\frac{1}{2}(x-m)$ 에 의해 정해진다. $x$ 의 이 일차함수는 기울기가 음수이므로 $x < m$ 에서 양수이고 $x > m$ 에서 음수이며, 따라서 $E'(x)$ 는 $x < m$ 에서 양수이고 $x > m$ 에서 음수이다. 그러므로 $x < m$ 에서 $E$ 는 증가하고 $x > m$ 에서 $E$ 는 감소하며, $x = m$ 에서 극댓값을 가진다. (c) 주어진 $E''(x)$ 의 식과, $e$ 의 거듭제곱은 양수라는 사실로부터, $E''(x) = 0$ 이 되는 방법은 $$\left(\frac{(x-m)^2 - s^2}{s^4} \right) = 0\,$$ 인 경우뿐이고, 이로부터 $(x-m)^2 = s^2$ 이므로 $x-m = \pm s$, 즉 $x = m \pm s$ 이다. 이 두 값이 $E''(x) = 0$ 이 되는 $x$ 의 값이다. (d) $x \to \pm \infty$ 일 때, 이차함수 $-\frac{(x-m)^2}{2s^2}$ 은 한없이 감소한다. 이 이차함수의 그래프는 위로 볼록한 포물선이므로 그렇다. 따라서 $E(x)$ 의 식에서 $e$ 의 지수는 한없이 감소하고, $e$ 를 절댓값이 점점 더 큰 음수만큼 거듭제곱하면 그 결과가 0에 가까워지므로 $E(x)$ 는 $0$ 에 가까워진다. 그러므로 $\lim_{x \to \infty} E(x) = \lim_{x \to -\infty} E(x) = 0$ 이다. (e) $E$ 는 $x = m$ 에서 하나의 임계수를 가지고, $x = m \pm s$ 에서 변곡점이 될 수 있는 두 점을 가지며, $x \to \pm \infty$ 일 때 $E(x) \to 0$ 임을 보였다. 이 모든 성질이 다음 그림에 나타나 있다.