정적분과 급수(구분구적법) 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.1절 · 23번

OpenStax 1권 · 5.1절 · 23번우리말 풀이

$[0,6]$ 에서 $f(x)=\sqrt{9-(x-3)^2}$ 에 대한 좌합 $L_6$ 과 우합 $R_6$ 을 각각 구하고, 두 값을 비교하세요.

영어 원문 보기

Compute the left and right Riemann sums—L₆ and R₆, respectively—for $f(x)=\sqrt{9-{(x-3)}^{2}}$ on $[0,6]$ and compare their values.

풀이 보기

구간을 6등분하면 폭이 1이고, 좌합과 우합은 양 끝 직사각형 하나만 다르게 포함해요.

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$[0,6]$ 을 6등분하면 $\Delta x=1$ 이고 분점은 $x=0,1,2,3,4,5,6$ 이에요. 각 분점의 함숫값을 구해요. $f(0)=\sqrt{9-9}=0$ , $f(1)=\sqrt{9-4}=\sqrt5\approx2.2361$ , $f(2)=\sqrt{8}\approx2.8284$ , $f(3)=3$ , $f(4)=\sqrt8$ , $f(5)=\sqrt5$ , $f(6)=0$ 이에요.
2
좌합은 각 구간의 왼쪽 끝 값을 써요. $L_6=\Delta x\,[f(0)+f(1)+\cdots+f(5)]=0+2.2361+2.8284+3+2.8284+2.2361\approx13.129$ 예요.
3
우합은 오른쪽 끝 값을 써요. $R_6=\Delta x\,[f(1)+\cdots+f(6)]=2.2361+2.8284+3+2.8284+2.2361+0\approx13.129$ 예요.
4
두 값이 같은 이유는 좌합에만 들어가는 $f(0)$ 과 우합에만 들어가는 $f(6)$ 이 모두 $0$ 이기 때문이에요. 이 함수는 반지름 3인 반원이라 실제 넓이 $\frac{9\pi}{2}\approx14.14$ 보다 약간 작은 근삿값이에요.

답

$L_6=R_6\approx13.129$ (두 값이 같다)

자주 하는 실수

좌합과 우합이 항상 다르다고 생각해요. 양 끝의 함숫값이 같으면 두 값이 같아요.

원본 교재 풀이(영어)

${L}_{6}=13.12899={R}_{6}.$ They are equal.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.2절 · 78번

[계산기 사용] $[1,2]$ 에서 $f(t)=4-t^2$ 에 대해 왼쪽 합 $L_{10}$ , 오른쪽 합 $R_{10}$ 과 그 평균 $\frac{L_{10}+R_{10}}{2}$ 을 구하세요. $\int_1^2(4-t^2)\,dt=1.\overline{66}$ 일 때, $\frac{L_{10}+R_{10}}{2}$ 은 소수점 아래 몇째 자리까지 정확한가요?

다 풀었으면 정답 확인

$L_{10}=1.815,\ R_{10}=1.515,\ \frac{L_{10}+R_{10}}{2}=1.665$ (소수점 아래 둘째 자리까지 정확)

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