정적분과 급수(구분구적법) 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.2절 · 78번

OpenStax 1권 · 5.2절 · 78번우리말 풀이

[계산기 사용] $[1,2]$ 에서 $f(t)=4-t^2$ 에 대해 왼쪽 합 $L_{10}$ , 오른쪽 합 $R_{10}$ 과 그 평균 $\frac{L_{10}+R_{10}}{2}$ 을 구하세요. $\int_1^2(4-t^2)\,dt=1.\overline{66}$ 일 때, $\frac{L_{10}+R_{10}}{2}$ 은 소수점 아래 몇째 자리까지 정확한가요?

영어 원문 보기

[T] Compute the left and right Riemann sums, L₁₀ and R₁₀, and their average $\frac{{L}_{10}+{R}_{10}}{2}$ for $f(t)=(4-{t}^{2})$ over $[1,2].$ Given that ${\int }_{1}^{2}(4-{t}^{2})dt=1.\overset{-}{66},$ to how many decimal places is $\frac{{L}_{10}+{R}_{10}}{2}$ accurate?

풀이 보기

한 칸의 폭 $0.1$ 에 높이를 곱해 더하고, 왼쪽과 오른쪽의 평균을 내면 오차가 크게 줄어요.

1
구간 $[1,2]$ 를 10등분하면 $\Delta t=0.1$ 이고 분점은 $t_i=1+0.1i$ 예요.
2
왼쪽 합은 $i=0,\dots,9$ 를 쓰므로 $L_{10}=0.1\sum_{i=0}^{9}\bigl(4-t_i^2\bigr)$ 이에요. $\sum_{i=0}^{9}t_i^2=\sum(1+0.2i+0.01i^2)=10+0.2\cdot45+0.01\cdot285=21.85$ 이므로 $\sum(4-t_i^2)=40-21.85=18.15$ , 따라서 $L_{10}=1.815$ 예요.
3
오른쪽 합은 $i=1,\dots,10$ 을 쓰므로 $\sum t_i^2=10+0.2\cdot55+0.01\cdot385=24.85$ 이고 $\sum(4-t_i^2)=40-24.85=15.15$ 예요. 따라서 $R_{10}=1.515$ 예요.
4
평균은 $\frac{L_{10}+R_{10}}{2}=\frac{1.815+1.515}{2}=1.665$ 예요. $f$ 가 감소하므로 $L_{10}$ 은 실제보다 크고 $R_{10}$ 은 작아서, 평균을 내면 서로 오차가 상쇄돼요.
5
실제 값 $1.666\ldots$ 과 비교하면 $1.665$ 는 차이가 약 $0.0017$ 이에요. 소수 둘째 자리까지 같은 값( $1.66$ )이므로 소수점 아래 둘째 자리까지 정확해요.

답

$L_{10}=1.815,\ R_{10}=1.515,\ \frac{L_{10}+R_{10}}{2}=1.665$ (소수점 아래 둘째 자리까지 정확)

자주 하는 실수

왼쪽 합에 $i=1\sim10$ 을 쓰는 등 합의 범위를 바꿔 쓰는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

${L}_{10}=1.815,{R}_{10}=1.515,\frac{{L}_{10}+{R}_{10}}{2}=1.665,$ so the estimate is accurate to two decimal places.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.4절 · 29번

다음 표는 2012년 투르 드 프랑스 1구간 마지막 18초 동안 피터 사간의 초당 평균 출력(와트)을 추정한 자료예요.

평균 출력

초	와트	초	와트
1	600	10	1200
2	500	11	1170
3	575	12	1125
4	1050	13	1100
5	925	14	1075
6	950	15	1000
7	1050	16	950
8	950	17	900
9	1100	18	780

출처: sportsexercisengineering.com

$1\text{W}=1\text{J/s}$ 임을 이용하여, 이 구간 동안 쓴 순 에너지를 킬로줄(kJ) 단위로 추정하고, 이 시간 동안의 평균 출력도 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

순 에너지 약 $17\text{ kJ}$ , 평균 출력 약 $944\text{ W}$

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