정적분과 급수(구분구적법) 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.1절 · 29번

OpenStax 1권 · 5.1절 · 29번우리말 풀이

[계산기 사용] 구간 $[0,1]$ 에서 $y=x^2$ 에 대한 $L_{100}$ 과 $R_{100}$ 을 구하세요. ( $L_{100}$ 은 구간을 100등분해 각 작은 구간의 왼쪽 끝점에서의 함숫값을 높이로 하는 직사각형의 넓이의 합, $R_{100}$ 은 오른쪽 끝점을 쓴 합이에요.)

영어 원문 보기

[T] L₁₀₀ and R₁₀₀ for $y={x}^{2}$ on the interval $[0,1]$

풀이 보기

구간을 100등분하고, 직사각형의 높이를 왼쪽 또는 오른쪽 끝점의 함숫값으로 잡아 더해요.

1
구간 $[0,1]$ 을 100등분하면 한 칸의 폭은 $\Delta x=\frac{1}{100}$ 이고, 분점은 $x_i=\frac{i}{100}$ 예요.
2
오른쪽 끝점 합은 $i=1,2,\dots,100$ 에서 높이 $x_i^2=\left(\frac{i}{100}\right)^2$ 을 쓰므로 $R_{100}=\sum_{i=1}^{100}\left(\frac{i}{100}\right)^2\cdot\frac1{100}=\frac{1}{10^6}\sum_{i=1}^{100}i^2$ 이에요.
3
제곱의 합 공식 $\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ 에 $n=100$ 을 넣으면 $\frac{100\cdot101\cdot201}{6}=338350$ 이에요. 그래서 $R_{100}=\frac{338350}{10^6}=0.33835$ 예요.
4
왼쪽 끝점 합은 $i=0,1,\dots,99$ 를 쓰므로 $\sum_{i=0}^{99}i^2=338350-100^2=328350$ 이고, $L_{100}=\frac{328350}{10^6}=0.32835$ 예요.
5
그래프로 확인해요. $y=x^2$ 은 $[0,1]$ 에서 증가하므로 왼쪽 합은 실제 넓이보다 작고(부족하게 어림), 오른쪽 합은 실제 넓이보다 커요. 실제 넓이 $\frac13\approx0.3333$ 이 두 값 사이에 있어요.

답

$L_{100}=0.32835,\ R_{100}=0.33835$

자주 하는 실수

합의 범위를 헷갈려 $L$ 에도 $i=1\sim100$ 을 쓰면 $R$ 과 같은 값이 나와요. $L$ 은 $i=0\sim99$ 예요.

원본 교재 풀이(영어)

A graph of the given function on the interval (0, 1). It is set up for a left endpoint approximation and is an underestimate because the function is increasing. Ten rectangles are shown for visual clarity, but this behavior persists for more rectangles.

${R}_{100}=0.33835,{L}_{100}=0.32835.$ The plot shows that the left Riemann sum is an underestimate because the function is increasing. Similarly, the right Riemann sum is an overestimate. The area lies between the left and right Riemann sums. Ten rectangles are shown for visual clarity. This behavior persists for more rectangles.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.1절 · 23번

$[0,6]$ 에서 $f(x)=\sqrt{9-(x-3)^2}$ 에 대한 좌합 $L_6$ 과 우합 $R_6$ 을 각각 구하고, 두 값을 비교하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$L_6=R_6\approx13.129$ (두 값이 같다)

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

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