정적분과 급수(구분구적법) 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.1절 · 31번

OpenStax 1권 · 5.1절 · 31번우리말 번역

[계산기 사용] 구간 $[-1,1]$ 에서 $y={x}^{3}+2$ 에 대한 L₁₀₀ 과 R₁₀₀

영어 원문 보기

[T] L₁₀₀ and R₁₀₀ for $y={x}^{3}+2$ on the interval $[-1,1]$

정답·풀이 보기

구간 (-1,1)에서 주어진 함수의 그래프로, 왼쪽 끝점 근삿값을 구하도록 직사각형을 설정한 것이다. 함수가 증가하므로 실제 값보다 작게 어림한 값이다. 알아보기 쉽도록 직사각형 10개를 나타냈지만, 직사각형의 개수가 더 많아져도 이러한 성질은 그대로 유지된다.

${L}_{100}=3.980,{R}_{100}=4.020,{R}_{100}>{L}_{100}$ . 함수가 증가하므로 왼쪽 끝점 합은 실제 값보다 작게 어림한 값이다. 마찬가지로 오른쪽 끝점 근삿값은 실제 값보다 크게 어림한 값이다. 넓이는 왼쪽 끝점 어림값과 오른쪽 끝점 어림값 사이에 있다.

원본 교재 풀이(영어)

A graph of the given function over (-1,1) set up for a left endpoint approximation. It is an underestimate since the function is increasing. Ten rectangles are shown for visual clarity, but this behavior persists for more rectangles.

${L}_{100}=3.980,{R}_{100}=4.020,{R}_{100}>{L}_{100}.$ The left endpoint sum is an underestimate because the function is increasing. Similarly, a right endpoint approximation is an overestimate. The area lies between the left and right endpoint estimates.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.1절 · 21번우리말 번역

함수 $f(x)=(3-|3-x|)$ 에 대해 구간 $[0,6]$ 에서 왼쪽 리만 합 L₆ 와 오른쪽 리만 합 R₆ 를 각각 구하세요. 두 값의 평균을 구하고, 이를 f 의 그래프 아래 넓이와 비교하세요.

다 풀었으면 정답 확인

${L}_{6}=9.000={R}_{6}.$ f 의 그래프는 넓이가 9인 삼각형이다.

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