정적분과 급수(구분구적법) 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.1절 · 45번

OpenStax 1권 · 5.1절 · 45번우리말 번역

다음 연습문제에서 왼쪽 리만 합 L₈ 을 계산하여 곡선 아래의 넓이를 어림하세요.

점 (0, 3), (1, 5), (2, 7), (3, 6), (4, 8), (5, 6), (6, 5), (7, 4), (8, 6)을 지나는 매끄러운 곡선의 그래프이다.

영어 원문 보기

In the following exercises, estimate the areas under the curves by computing the left Riemann sums, L₈.

The graph of a smooth curve going through the points (0, 3), (1, 5), (2, 7), (3, 6), (4, 8), (5, 6), (6, 5), (7, 4), and (8, 6).

정답·풀이 보기

${L}_{8}=3+5+7+6+8+6+5+4=44$

원본 교재 풀이(영어)

${L}_{8}=3+5+7+6+8+6+5+4=44$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.1절 · 53번우리말 번역

$f(a)\ge 0$ 이고 f 가 $[a,b]$ 에서 증가하면, 왼쪽 끝점 어림값이 $[a,b]$ 에서 f 의 그래프 아래쪽 넓이의 하한이 되는 이유를 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$[c,d]$ 가 왼쪽 끝점 합의 직사각형 중 하나의 아래에 있는 $[a,b]$ 의 부분 구간이면, 왼쪽 끝점 어림값에 기여하는 직사각형의 넓이는 $f(c)(d-c)$ 이다. 그런데 $c\le x\le d$ 에서 $f(c)\le f(x)$ 이므로, c 와 d 사이에서 f 의 그래프 아래쪽 넓이는 $f(c)(d-c)$ 에, 그래프 아래쪽이면서 높이 $f(c)$ 의 수평 선분 위쪽인 영역의 넓이를 더한 것이며, 이 영역의 넓이는 양수이다. 이것이 왼쪽 끝점 합의 모든 부분 구간에서 성립하므로, 왼쪽 리만 합은 $[a,b]$ 에서 f 의 그래프 아래쪽 넓이보다 작거나 같다.

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# 정적분과 급수(구분구적법)그래프·표 해석자동 분류