정적분과 급수(구분구적법) 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.1절 · 53번

OpenStax 1권 · 5.1절 · 53번우리말 번역

$f(a)\ge 0$ 이고 f 가 $[a,b]$ 에서 증가하면, 왼쪽 끝점 어림값이 $[a,b]$ 에서 f 의 그래프 아래쪽 넓이의 하한이 되는 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain why, if $f(a)\ge 0$ and f is increasing on $[a,b],$ that the left endpoint estimate is a lower bound for the area below the graph of f on $[a,b].$

정답·풀이 보기

$[c,d]$ 가 왼쪽 끝점 합의 직사각형 중 하나의 아래에 있는 $[a,b]$ 의 부분 구간이면, 왼쪽 끝점 어림값에 기여하는 직사각형의 넓이는 $f(c)(d-c)$ 이다. 그런데 $c\le x\le d$ 에서 $f(c)\le f(x)$ 이므로, c 와 d 사이에서 f 의 그래프 아래쪽 넓이는 $f(c)(d-c)$ 에, 그래프 아래쪽이면서 높이 $f(c)$ 의 수평 선분 위쪽인 영역의 넓이를 더한 것이며, 이 영역의 넓이는 양수이다. 이것이 왼쪽 끝점 합의 모든 부분 구간에서 성립하므로, 왼쪽 리만 합은 $[a,b]$ 에서 f 의 그래프 아래쪽 넓이보다 작거나 같다.

원본 교재 풀이(영어)

If $[c,d]$ is a subinterval of $[a,b]$ under one of the left-endpoint sum rectangles, then the area of the rectangle contributing to the left-endpoint estimate is $f(c)(d-c).$ But, $f(c)\le f(x)$ for $c\le x\le d,$ so the area under the graph of f between c and d is $f(c)(d-c)$ plus the area below the graph of f but above the horizontal line segment at height $f(c),$ which is positive. As this is true for each left-endpoint sum interval, it follows that the left Riemann sum is less than or equal to the area below the graph of f on $[a,b].$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.1절 · 43번우리말 번역

다음 문제에서 왼쪽 리만 합 L₈을 계산하여 곡선 아래의 넓이를 어림하세요.

점 (0,3), (1,2), (2,1), (3,2), (4,3), (5,4), (6,5), (7,4), (8,3)을 지나는 매끄러운 곡선의 그래프이다.

다 풀었으면 정답 확인

${L}_{8}=3+2+1+2+3+4+5+4=24$

이 문제로 이어서 풀기

# 정적분과 급수(구분구적법)그래프·표 해석자동 분류