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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 적분법

정적분과 급수(구분구적법)

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 1권 · 5.1절 · 57번우리말 번역

세 그래프 각각에 대해 다음을 하세요.

a. 곡선으로 완전히 둘러싸인 정사각형의 넓이를 더하여, 곡선으로 둘러싸인 넓이의 하한 L(A)L(A) 를 구하세요. b. 곡선으로 일부만 둘러싸인 정사각형의 넓이 B(A)B(A) 를 L(A)L(A) 에 더하여, 넓이의 상한 U(A)U(A) 를 구하세요. 모눈종이에 그려진 세 그래프가 위아래로 쌓여 있다. 세 그래프는 모두 같은 도형을 나타내지만, 축의 눈금이 점점 더 촘촘해진다. 첫 번째 그래프는 각 축에 −3에서 3까지 1단위 간격으로 눈금이 표시되어 있다. 두 번째 그래프는 0.5단위 간격의 눈금이, 세 번째 그래프는 0.25단위 간격의 눈금이 표시되어 있다. 따라서 모눈의 칸이 점점 더 작아진다. 도형은 각 축에 대해 대칭이며 곡선으로 이루어진 십자 모양이다. 이 도형은 축과 (0,3), (3,0), (0,-3), (-3,0) 에서 만나고, 꼭짓점은 대략 (.7,.7), (.7,-.7), (-.7,-7.), (-.7,.7) 에 있다. 그래프 1에서는 도형 안에 완전히 포함된 정사각형 칸이 하나도 없다. 도형에 일부만 둘러싸인 칸은 20개이다. 그래프 2에서는 도형 안에 완전히 포함된 칸이 9개이고, 일부만 둘러싸인 칸이 11개이다. 그래프 3에서는 도형 안에 완전히 포함된 칸이 11개이고, 일부만 둘러싸인 칸이 4.5개이다.

영어 원문 보기

For each of the three graphs:

a. Obtain a lower bound L(A)L(A) for the area enclosed by the curve by adding the areas of the squares enclosed completely by the curve. b. Obtain an upper bound U(A)U(A) for the area by adding to L(A)L(A) the areas B(A)B(A) of the squares enclosed partially by the curve. Three graphs, stacked vertically, drawn on graph paper. Each shows the same image. However, the axes become progressively more exact in units. The first is marked in units, from negative 3 units to positive 3 units on each axis. The second has the half-units marked, and the third has the quarter units marked. As such, the graph paper boxes become smaller and smaller. The image is symmetrical across each axis and is a curved cross shape. It meets the axes at (0,3), (3,0), (0,-3), and (-3,0) and has corners roughly at (.7,.7), (.7,-.7), (-.7,-7.), and (-.7,.7). In graph 1, no square unit boxes are completely contained inside the shape. Twenty boxes are enclosed partially by the shape. In graph 2, nine boxes are completely contained inside the shape, and eleven boxes are enclosed partially by the shape. In graph 3, 11 boxes are completely contained inside the shape, and 4.5 are enclosed partially by the shape.

정답·풀이 보기

그래프 1: a. L(A)=0,B(A)=20;L(A)=0,B(A)=20; b. U(A)=20U(A)=20. 그래프 2: a. L(A)=9;L(A)=9; b. B(A)=11,U(A)=20B(A)=11,U(A)=20. 그래프 3: a. L(A)=11.0;L(A)=11.0; b. B(A)=4.5,U(A)=15.5.B(A)=4.5,U(A)=15.5.

원본 교재 풀이(영어)

Graph 1: a. L(A)=0,B(A)=20;L(A)=0,B(A)=20; b. U(A)=20.U(A)=20. Graph 2: a. L(A)=9;L(A)=9; b. B(A)=11,U(A)=20.B(A)=11,U(A)=20. Graph 3: a. L(A)=11.0;L(A)=11.0; b. B(A)=4.5,U(A)=15.5.B(A)=4.5,U(A)=15.5.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.1절 · 47번우리말 번역

[계산기 사용] 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 [−1,1][-1,1] 에서 f(x)=11+x2f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+{x}^{2}}} 에 대해 N=10,30,50N=10,30,50 일 때의 리만 합 LN 을 계산하세요.

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L10≈1.7604,L30≈1.7625,L50≈1.76265{L}_{10}\approx 1.7604,{L}_{30}\approx 1.7625,{L}_{50}\approx 1.76265

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# 정적분과 급수(구분구적법)그래프·표 해석자동 분류
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