정적분과 급수(구분구적법) 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.1절 · 59번

OpenStax 1권 · 5.1절 · 59번우리말 풀이

단위원이 그림의 안쪽 부채꼴과 같은 꼴 $n$ 개로 이루어져 있어요. 안쪽 삼각형의 밑변은 $1$ 이고 높이는 $\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$ 예요. 바깥쪽 삼각형의 밑변은 $B=\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)$ 이고 높이는 $H=B\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$ 예요. 이 정보를 이용해 단위원의 넓이가 $\pi$ 임을 논증하세요.

$중심각 \theta=\frac{2\pi}{n}인 부채꼴. 두 반지름의 끝을 잇는 선, 원에 접하는 평행선, 바깥쪽 삼각형 등이 그려져 있다.$

영어 원문 보기

A unit circle is made up of n wedges equivalent to the inner wedge in the figure. The base of the inner triangle is 1 unit and its height is $\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right).$ The base of the outer triangle is $B=\cos \left(\frac{\pi }{n}\right)+\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)\tan \left(\frac{\pi }{n}\right)$ and the height is $H=B\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right).$ Use this information to argue that the area of a unit circle is equal to π.

풀이 보기

원 안쪽 삼각형 $n$ 개의 넓이와 바깥쪽 삼각형 $n$ 개의 넓이로 원의 넓이를 위아래에서 끼우고, $n\to\infty$ 로 보내요.

1
단위원의 넓이를 $A$ 라 해요. 원을 중심각 $\frac{2\pi}{n}$ 인 $n$ 개의 부채꼴로 나누면, 각 부채꼴 안에 들어가는 삼각형(밑변 $1$ , 높이 $\sin\frac{2\pi}{n}$ )이 있어요. 그 넓이는 $\frac12\sin\frac{2\pi}{n}$ 이고 $n$ 개를 모으면 원 안에 들어가므로 $\frac n2\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\le A$
2
반대로 각 부채꼴을 완전히 덮는 바깥쪽 삼각형의 넓이는 $\frac12BH=\frac12B^2\sin\frac{2\pi}{n}$ 이에요. $n$ 개를 모으면 원을 덮으므로 $A\le\frac n2\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)B^2$
3
왼쪽 값의 극한을 구해요. $\frac n2\sin\frac{2\pi}{n}=\pi\cdot\frac{\sin(2\pi/n)}{2\pi/n}$ 이고, $n\to\infty$ 이면 $\frac{2\pi}{n}\to0$ 이므로 $\frac{\sin x}{x}\to1$ 덕분에 $\pi$ 에 가까워져요. 그래서 $\pi\le A$ 예요.
4
오른쪽 값의 극한을 구해요. $n\to\infty$ 이면 $\frac{\pi}{n}\to0$ 이므로 $B=\cos\frac{\pi}{n}+\sin\frac{\pi}{n}\tan\frac{\pi}{n}\to1+0\cdot0=1$ 이에요. 따라서 $\frac n2\sin\frac{2\pi}{n}B^2\to\pi\cdot1=\pi$ 이고 $A\le\pi$ 예요.
5
$\pi\le A\le\pi$ 이므로 조임 정리에 의해 $A=\pi$ 예요. 즉 단위원의 넓이는 $\pi$ 예요.

답

단위원의 넓이 $A$ 에 대해 $\pi\le A\le\pi$ 이므로 $A=\pi$

자주 하는 실수

안쪽 삼각형만 쓰고 바깥쪽을 빼먹으면 $A\ge\pi$ 만 나와요. 위아래 두 부등식이 모두 필요해요.

원본 교재 풀이(영어)

Let A be the area of the unit circle. The circle encloses n congruent triangles each of area $\frac{\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right)}{2},$ so $\frac{n}{2}\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right)\le A.$ Similarly, the circle is contained inside n congruent triangles each of area $\frac{BH}{2}=\frac{1}{2}{\left( \cos \left( \frac{\pi }{n} \right)+\sin \left( \frac{\pi }{n} \right)\tan \left( \frac{\pi }{n} \right) \right)}^{2}\sin \left( \frac{2\pi }{n} \right),$ so $A\le \frac{n}{2}\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right)(\cos \left(\frac{\pi }{n}\right)+\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)\tan {\left(\frac{\pi }{n}\right))}^{2}.$ As $n\to \infty ,\frac{n}{2}\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right)=\frac{\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right)}{\left(\frac{2}{n}\right)}A\to \pi ,$ so we conclude $\pi \le A.$ Also, as $n\to \infty ,\cos \left(\frac{\pi }{n}\right)+\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)\tan \left(\frac{\pi }{n}\right)\to 1,$ so we also have $A\le \pi .$ By the squeeze theorem for limits, we conclude that $A=\pi .$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.1절 · 41번우리말 번역

다음 표는 표시된 해의 7월부터 시작하는 미국 인구의 증가율(퍼센트)을 나타낸 것입니다. 2000년 7월의 미국 인구가 281,421,906명이었다면, 2010년 7월의 미국 인구를 어림하세요.

미국 인구의 연간 증가율, 2000–2009

연도	연간 변화율(%)
2000	1.12
2001	0.99
2002	0.93
2003	0.86
2004	0.93
2005	0.93
2006	0.97
2007	0.96
2008	0.95
2009	0.88

출처: http://www.census.gov/popest/data.

(힌트: 2001년 7월의 인구를 구하려면 2000년 7월의 인구에 1.0112를 곱하면 284,573,831을 얻습니다.)

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

309,389,957

이 문제로 이어서 풀기

# 정적분과 급수(구분구적법)증명·논술도전