정적분과 급수(구분구적법)

(a) 왼쪽 리만 합은 다음과 같이 정의된다.

$$\begin{aligned} L_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1})\Delta x \qquad\text{여기서 }x_i=a+i\Delta x \end{aligned}$$

$n=3$ 개의 구간으로 나누면 $\Delta x = \frac{b-a}{n} =\frac{3-0}{3}=1$ 이고, $x_0=0$, $x_1=1$, $x_2=2$ 이다. 함수 $f(x) = 7 + x^3$ 의 값은 $f(x_0) = 7+0^3=7$, $f(x_1) = 7+1^3=8$, $f(x_2) = 7+2^3=15$ 이므로 다음을 얻는다.

$$\begin{aligned} L_3 = \big[f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)\big]\Delta x = \big[7+8+15\big]\times 1= 30 \end{aligned}$$

(b) $n$ 개의 구간으로 나누면 $\Delta x = \frac{b-a}{n}=\frac{3}{n}$ 이고 $x_i = a+i\Delta x= \frac{3i}{n}$ 이다. 따라서 오른쪽 리만 합은 다음과 같다.

$$\begin{aligned} R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x = \sum_{i=1}^{n} \left[ 7 + \frac{(3i)^3}{n^3} \right] \frac{3}{n} = \sum_{i=1}^{n} \left[ \frac{21}{n} + \frac{81\,i^3}{n^4} \right] \end{aligned}$$

합을 계산하면 다음과 같다.

$$\begin{aligned} R_n &= \left( \frac{21}{n} \sum_{i=1}^{n} 1 \right) + \left( \frac{81}{n^4} \sum_{i=1}^{n} i^3 \right)\\ &=\left( \frac{21}{n}\times n \right)+\left( \frac{81}{n^4} \times \frac{n^4 +2n^3 + n^2}{4} \right)\\ &= 21 + \frac{81}{4}(1 +2/n + 1/n^2) \end{aligned}$$

극한값을 정확하게 구하기 위해 $n \to \infty$ 를 취한다. $1/n$ 을 포함한 항은 0 으로 사라지므로 다음이 남는다.

$$\begin{aligned} \int_0^3 (7 + x^3) \,\,\mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty} R_n = 21 + \frac{81}{4} = 41 \frac{1}{4} \end{aligned}$$