정적분의 뜻과 성질

(a) $v(t) = 0$ 인 때는 $t = 0$, $t = 1$, $t = 3$ 이고, 구간 $0 < t < 1$ 과 $3 < t < 4$ 에서는 $v(t)$ 가 양수이며, $1 < t < 3$ 에서는 $v(t)$ 가 음수이다. 따라서 물체의 위치 변화량의 총합 $P$ 는 다음과 같다. $$P = \int_0^1 v(t) \, dt + \int_1^3 v(t) \, dt + \int_3^4 v(t) \, dt = \int_0^4 v(t) \, dt\,.$$ (b) 계산 도구를 이용하여 중점 규칙으로 위치 변화량의 총합 $\int_0^4 v(t) \, dt$ 를 어림한다. $M_{25} = 2.6496$, $M_{50} = 2.6624$, $M_{75} = 2.66477$, $M_{100} = 2.6656$ 을 얻는다. 소구간의 수를 늘려도 소수 첫째 자리와 둘째 자리가 변하지 않는 것으로 보이므로, $P = \int_0^4 v(t) \, dt \approx 2.665$ 는 소수 둘째 자리까지 정확하다고 할 수 있다. (c) (a)에서 $v(t)$ 의 부호를 살펴보았다. 특히 $1 < t < 3$ 에서 $v(t) < 0$ 이므로 $\int_1^3 v(t) \, dt$ 는 음의 위치 변화량을 준다. 따라서 이 구간에서 이동한 거리는 $-\int_1^3 v(t) \, dt$ 이고, 구간 $[0,4]$ 에서 이동한 총 거리 $D$ 는 다음과 같다. $$D = \int_0^1 v(t) \, dt - \int_1^3 v(t) \, dt + \int_3^4 v(t) \, dt\,.$$ (d) 리만 합으로 $D$ 를 어림하려면 세 정적분을 각각 어림해야 한다. 그 결과는 다음과 같다.

• $\int_0^1 v(t) \, dt \approx M_{100} = 0.41669$,
• $\int_1^3 v(t) \, dt \approx M_{100} = -2.6668$, 그리고
• $\int_1^4 v(t) \, dt \approx M_{100} = 4.91667$ $M_n$ 에서 여러 가지 $n$ 의 값으로 계산해 보면, 이 각각의 어림값은 적어도 소수 $3$ 째 자리까지 정확함을 알 수 있다. 따라서 이들의 합은 적어도 소수 $2$ 째 자리까지 정확하리라 기대할 수 있다. 그러므로 $$D = \int_0^1 v(t) \, dt - \int_1^3 v(t) \, dt + \int_3^4 v(t) \, dt \approx 0.41669 - (-2.6668) + 4.91667 = 8.00016\,.$$ 따라서 $D \approx 8.00016$ 은 적어도 소수 $2$ 째 자리까지 정확한 이동 거리의 어림값이다. (e) 구간 $[0,4]$ 에서의 평균 속도는 다음 적분식으로 주어진다. $$v_{\operatorname{AVG} [0,4]} = \frac{1}{4-0} \int_0^4 v(t) \, dt\,.$$ (b)에서 이 정적분을 어림했으므로 그 결과를 이용하면 $$v_{\operatorname{AVG} [0,4]} \approx \frac{1}{4-0} 2.665 = 0.66625$$ 피트/초가 물체의 평균 속도이며, 적어도 소수 둘째 자리까지 정확하다. 위치 변화량의 총합이 양수이므로 평균 속도가 양수인 것은 타당하다.