정적분의 뜻과 성질

(a) $f(x)$ 는 $[-1,1]$ 에서 양수이므로, 주어진 구간에서 이 함수와 $x$축으로 유계인 넓이는 $A_1 = \int_{-1}^{1} (3-x^2) \, dx$ 이다. 함수와 영역의 그래프는 아래와 같다. (b) 마찬가지로 $g(x)$ 는 $[-1,1]$ 에서 양수이므로, 주어진 구간에서 이 함수와 $x$축으로 유계인 넓이는 $A_2 = \int_{-1}^{1} 2x^2 \, dx$ 이다. 함수와 영역의 그래프는 아래와 같다. (c) 위의 두 그림에서 두 곡선 사이의 정확한 넓이는 $f$ 아래의 넓이($A_1$)에서 $g$ 아래의 넓이($A_2$)를 뺀 것임을 알 수 있다. 즉, $$A_1 - A_2 = \int_{-1}^{1} (3-x^2) \, dx - \int_{-1}^{1} 2x^2 \, dx\,.$$ (d) 같은 구간에서의 정적분의 합 법칙에 의해 다음이 성립한다. $$\int_{-1}^{1} (3-x^2) \, dx - \int_{-1}^{1} 2x^2 \, dx = \int_{-1}^{1} [ (3-x^2) - 2x^2 ] \, dx$$ 따라서 오른쪽의 하나의 적분은 $[-1,1]$ 에서 두 곡선 사이의 정확한 넓이를 나타낸다. (e) 일반적으로 $[a,b]$ 에서 $p(x) \ge q(x)$ 이면, 이 구간에서 $p$ 와 $q$ 사이의 정확한 넓이 $A$ 는 다음과 같이 주어진다. $$A = \int_a^b [p(x) - q(x)] \, dx$$ 왜냐하면 이 넓이는 $p$ 아래의 넓이($\int_a^b p(x) \, dx$)와 $q$ 아래의 넓이($\int_a^b q(x) \, dx$)의 차로 구할 수 있고, (d)에서 보인 것처럼 두 정적분을 빼서 하나로 나타낼 수 있기 때문이다.