정적분과 급수(구분구적법) 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.2절 · 6번

OpenStax 1권 · 5.2절 · 6번우리말 풀이

다음 문제에서 $L_n$ 또는 $R_n$ 이 주어졌을 때, $n\to\infty$ 일 때의 극한을 정적분으로 나타내고 적분 구간을 정하세요.

$R_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{n}$

영어 원문 보기

In the following exercises, given L_n or R_n as indicated, express their limits as $n\to \infty$ as definite integrals, identifying the correct intervals.

${R}_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{n}$

풀이 보기

$\frac1n$ 은 폭 $\Delta x$ , $\frac in$ 은 점 $x_i$ 로 읽어요.

1
오른쪽 끝점 합은 $R_n=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\,\Delta x$ 꼴이에요. 주어진 식과 비교해 각 부분이 무엇인지 읽어요.
2
$\Delta x=\frac1n$ 이고 $x_i=\frac in$ 이에요. 구간이 $[a,b]$ 이면 $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ , $x_i=a+i\Delta x$ 이므로 $b-a=1$ , $a=0$ 으로 읽을 수 있어요. 즉 구간은 $[0,1]$ 이에요.
3
그러면 $x_i=\frac in$ 에서의 함숫값이 $\frac in$ 이므로 $f(x)=x$ 예요.
4
따라서 $\lim_{n\to\infty}R_n=\int_0^1 x\,dx$ 예요. (값은 $\frac12$ 이에요.)

답

$\int_0^1 x\,dx$ (구간 $[0,1]$ )

자주 하는 실수

$\frac1n$ 을 보고 구간의 끝을 $\frac1n$ 이라 착각하기 쉬워요. $\frac1n$ 은 한 칸의 폭이에요.

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{0}^{1}xdx$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.1절 · 29번

[계산기 사용] 구간 $[0,1]$ 에서 $y=x^2$ 에 대한 $L_{100}$ 과 $R_{100}$ 을 구하세요. ( $L_{100}$ 은 구간을 100등분해 각 작은 구간의 왼쪽 끝점에서의 함숫값을 높이로 하는 직사각형의 넓이의 합, $R_{100}$ 은 오른쪽 끝점을 쓴 합이에요.)

다 풀었으면 정답 확인

$L_{100}=0.32835,\ R_{100}=0.33835$

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

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