정적분의 뜻과 성질 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.2절 · 72번

OpenStax 1권 · 5.2절 · 72번우리말 풀이

$f$ 와 $g$ 가 연속함수이고, $[a,b]$ 의 모든 부분 구간 $[c,d]$ 에 대해 $\int_{c}^{d}f(t)dt\le\int_{c}^{d}g(t)dt$ 가 성립한다고 해요. 이때 모든 $x$ 에 대해 $f(x)\le g(x)$ 인 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Suppose f and g are continuous functions such that ${\int }_{c}^{d}f(t)dt\le {\int }_{c}^{d}g(t)dt$ for every subinterval $[c,d]$ of $[a,b].$ Explain why $f(x)\le g(x)$ for all values of x.

풀이 보기

어떤 점에서 $f>g$ 라고 가정하면, 연속이므로 그 근처 구간 전체에서 $f>g$ 이고 적분도 $f$ 쪽이 커져서 가정과 모순이에요.

1
귀류법을 써요. 어떤 $t_0\in[a,b]$ 에서 $f(t_0)>g(t_0)$ 라고 가정해요.
2
$h=f-g$ 라 하면 $h$ 는 연속이고 $h(t_0)>0$ 이에요. 연속함수는 한 점에서 양수이면 그 점 가까이에서도 양수이므로, $t_0$ 를 포함하는 구간 $[c,d]$ ( $c<d$ )가 있어서 그 위에서 $h(t)>\frac{h(t_0)}{2}>0$ 이에요.
3
그러면 $\int_c^d\big(f(t)-g(t)\big)dt\ge\frac{h(t_0)}{2}(d-c)>0$ 이에요. 즉 $\int_c^df(t)dt>\int_c^dg(t)dt$ 예요.
4
이는 조건 $\int_c^df\le\int_c^dg$ 와 모순이에요. 그러므로 가정이 틀렸고, 모든 $x$ 에서 $f(x)\le g(x)$ 예요.

답

모든 $x\in[a,b]$ 에서 $f(x)\le g(x)$ (귀류법으로 증명)

자주 하는 실수

한 점에서만 $f>g$ 이면 적분에는 영향이 없다고 생각해요. 연속이면 그 점 주변 구간까지 $f>g$ 가 되어 적분이 달라져요.

원본 교재 풀이(영어)

If $f({t}_{0})>g({t}_{0})$ for some ${t}_{0}\in [a,b],$ then since $f-g$ is continuous, there is an interval containing t₀ such that $f(t)>g(t)$ over the interval $[c,d],$ and then ${\int }_{d}^{d}f(t)dt>{\int }_{c}^{d}g(t)dt$ over this interval.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.2절 · 42번

다음 문제에서 $\int_0^1 x\,dx=\frac12$ , $\int_0^1 x^2\,dx=\frac13$ , $\int_0^1 x^3\,dx=\frac14$ 임을 이용해 적분을 계산하세요.

$\int_0^1 (1-2x)^3\,dx$

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