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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 적분법

정적분과 급수(구분구적법)

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 1권 · 5.4절 · 29번우리말 풀이

다음 표는 2012년 투르 드 프랑스 1구간 마지막 18초 동안 피터 사간의 초당 평균 출력(와트)을 추정한 자료예요.

평균 출력

초 와트 초 와트
1 600 10 1200
2 500 11 1170
3 575 12 1125
4 1050 13 1100
5 925 14 1075
6 950 15 1000
7 1050 16 950
8 950 17 900
9 1100 18 780

출처: sportsexercisengineering.com

1W=1J/s1\text{W}=1\text{J/s}임을 이용하여, 이 구간 동안 쓴 순 에너지를 킬로줄(kJ) 단위로 추정하고, 이 시간 동안의 평균 출력도 구하세요.

영어 원문 보기

The data in the following table are used to estimate the average power output produced by Peter Sagan for each of the last 18 sec of Stage 1 of the 2012 Tour de France.

Average Power Output

Second Watts Second Watts
1 600 10 1200
2 500 11 1170
3 575 12 1125
4 1050 13 1100
5 925 14 1075
6 950 15 1000
7 1050 16 950
8 950 17 900
9 1100 18 780

Source: sportsexercisengineering.com

Estimate the net energy used in kilojoules (kJ), noting that 1W = 1 J/s, and the average power output by Sagan during this time interval.

답 쓰고 채점
kJ
풀이 보기

출력(와트=줄/초)을 시간에 대해 더하면 에너지(줄)가 돼요. 1초 간격이므로 와트 값을 모두 더하면 돼요.

  1. 1

    에너지는 출력을 시간에 대해 적분한 값이에요. 표는 1초마다 값이 있으므로 폭이 Δt=1\Delta t=1초인 직사각형의 합(리만 합)으로 근사해요. 각 칸의 에너지는 (와트)×(1초)=줄이에요.

  2. 2

    1초부터 9초까지의 합은 600+500+575+1050+925+950+1050+950+1100=7700600+500+575+1050+925+950+1050+950+1100=7700이에요.

  3. 3

    10초부터 18초까지의 합은 1200+1170+1125+1100+1075+1000+950+900+780=93001200+1170+1125+1100+1075+1000+950+900+780=9300이에요. 전체는 7700+9300=170007700+9300=17000줄, 즉 17 kJ17\text{ kJ}예요.

  4. 4

    평균 출력은 전체 에너지를 걸린 시간으로 나눈 값이에요. 17000 J18 s≈944 W\frac{17000\text{ J}}{18\text{ s}}\approx944\text{ W}예요.

답

순 에너지 약 17 kJ17\text{ kJ}, 평균 출력 약 944 W944\text{ W}

자주 하는 실수

킬로줄로 바꾸지 않고 1700017000이라고만 쓰거나, 평균을 구할 때 18이 아닌 다른 수로 나누는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

17 kJ

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.1절 · 59번

단위원이 그림의 안쪽 부채꼴과 같은 꼴 nn개로 이루어져 있어요. 안쪽 삼각형의 밑변은 11이고 높이는 sin⁡(2πn)\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)예요. 바깥쪽 삼각형의 밑변은 B=cos⁡(πn)+sin⁡(πn)tan⁡(πn)B=\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)이고 높이는 H=Bsin⁡(2πn)H=B\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)예요. 이 정보를 이용해 단위원의 넓이가 π\pi임을 논증하세요.

중심각 \theta=\frac{2\pi}{n}인 부채꼴. 두 반지름의 끝을 잇는 선, 원에 접하는 평행선, 바깥쪽 삼각형 등이 그려져 있다.

다 풀었으면 정답 확인

단위원의 넓이 AA에 대해 π≤A≤π\pi\le A\le\pi이므로 A=πA=\pi

자세한 풀이 보고 이어서 풀기
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