여러 가지 함수의 적분 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.3절 · 40번

OpenStax 1권 · 5.3절 · 40번우리말 풀이

다음 문제에서 미적분의 기본정리 2부를 이용하여 각 정적분의 값을 구하세요.

$\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta$

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate each definite integral using the Fundamental Theorem of Calculus, Part 2.

${\int }_{0}^{\pi /2}\sin \theta d\theta$

풀이 보기

부정적분 $F$ 를 찾아 $F(\text{위끝})-F(\text{아래끝})$ 을 계산해요.

1
$\sin\theta$ 의 부정적분 하나는 $F(\theta)=-\cos\theta$ 예요. 미분하면 $\sin\theta$ 가 되는 것을 확인할 수 있어요.
2
기본정리 2부에 의해 $\int_0^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta=F\left(\frac\pi2\right)-F(0)$ 예요.
3
$F\left(\frac\pi2\right)=-\cos\frac\pi2=0$ , $F(0)=-\cos0=-1$ 이므로 $0-(-1)=1$ 이에요.

답

$1$

자주 하는 실수

$F(0)=-1$ 을 빼는 부호를 놓쳐 $-1$ 이라고 답해요.

원본 교재 풀이(영어)

$F(x)=-\cos x,F\left(\frac{\pi }{2}\right)-F(0)=1$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 4.10절 · 41번

다음 문제에서 이계도함수 또는 삼계도함수가 주어졌을 때, 가능한 함수 $f$ 를 두 가지 구하세요.

$f''(x)=e^{-x}$

다 풀었으면 정답 확인

예시 답: $f(x)=e^{-x}$ 와 $f(x)=e^{-x}+x$