미적분의 기본정리 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.3절 · 58번

OpenStax 1권 · 5.3절 · 58번우리말 번역

$f$ 가 $[a,b]$ 에서 연속이고 상수 함수가 아니면, $f(M)>\frac{1}{b-a}{\int }_{a}^{b}f(t)dt$ 를 만족시키는 점 $M\in [a,b]$ 가 적어도 하나 존재하고, $f(m)<\frac{1}{b-a}{\int }_{a}^{b}f(t)dt$ 를 만족시키는 점 $m\in [a,b]$ 가 적어도 하나 존재하는 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain why, if f is continuous over $[a,b]$ and is not equal to a constant, there is at least one point $M\in [a,b]$ such that $f(M)>\frac{1}{b-a}{\int }_{a}^{b}f(t)dt$ and at least one point $m\in [a,b]$ such that $f(m)<\frac{1}{b-a}{\int }_{a}^{b}f(t)dt.$

정답·풀이 보기

$f$ 가 상수 함수가 아니면 $f$ 의 평균은 최댓값보다 (최댓값)보다 작고 최솟값보다 크며, 이 최댓값과 최솟값은 최대·최소 정리에 의해 $[a,b]$ 에서 실제로 취해진다.

원본 교재 풀이(영어)

If f is not constant, then its average is strictly smaller than the maximum and larger than the minimum, which are attained over $[a,b]$ by the extreme value theorem.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.3절 · 49번우리말 번역

$f(x)=x^3\displaystyle\int_{0}^{x^3+1} e^{t^3} \mathrm{d}t$ 라 하자.

(a) 도함수 $f'(x)$ 의 식을 구하세요. (식에 적분 기호가 포함되어도 됩니다.) (b) $y=f(x)$ 의 그래프 위의 $x=-1$ 에서의 접선의 방정식을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 곱의 미분법, 합성함수의 미분법, 미적분학의 기본정리 제1부를 차례로 이용하면,

$\begin{aligned} f'(x) & = 3x^2 \int_{0}^{x^3+1} e^{t^3} \mathrm{d}t + x^3\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{0}^{x^3+1} e^{t^3} \mathrm{d}t \\ & = 3x^2 \int_{0}^{x^3+1} e^{t^3} \mathrm{d}t + x^3\ \big[3x^2\big] \Bigg[\frac{d}{\mathrm{d}y}\int_{0}^{y} e^{t^3} \mathrm{d}t\Bigg]_{y=x^3+1} \\ & = 3x^2 \int_{0}^{x^3+1} e^{t^3} \mathrm{d}t + x^3\ \big[3x^2\big] \Big[e^{y^3}\Big]_{y=x^3+1} \\ & = 3x^2 \int_{0}^{x^3+1} e^{t^3} \mathrm{d}t + x^3\ \big[3x^2\big] e^{(x^3+1)^3} \\ & = 3x^2 \int_{0}^{x^3+1} e^{t^3} \mathrm{d}t + 3x^5 e^{(x^3+1)^3} \end{aligned}$

(b) 일반적으로 $y=f(x)$ 의 그래프 위의 $x=a$ 에서의 접선의 방정식은

$y=f(a) + f'(a)\,(x-a)$

이다. 주어진 $f(x)$ 와 $a=-1$ 을 대입하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} f(a)=f(-1)&=(-1)^3\int_0^0 e^{t^3}\ \mathrm{d}t=0\\ f'(a)=f'(-1)&=3(-1)^2\int_{0}^{0}e^{t^3}\ \mathrm{d}t + 3(-1)^5e^{0}\\ &=0-3=-3\\ (x-a)=x-(-1)&=x+1 \\ \text{따라서 접선의 방정식은} \\ y = -3(x+1)\ . \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 미적분의 기본정리계산자동 분류