속도와 거리 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.4절 · 13번

OpenStax 1권 · 5.4절 · 13번우리말 풀이

정육면체의 한 모서리 길이가 $s$ 에서 $2s$ 로 두 배가 될 때 겉넓이의 변화량을 나타내는 적분식을 쓰고, 그 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Write an integral that quantifies the change in the area of the surface of a cube when its side length doubles from s unit to 2s units and evaluate the integral.

풀이 보기

양의 변화율을 적분하면 그 양의 순변화량이 돼요.

1
겉넓이를 모서리 길이 $x$ 의 함수로 써요. 정육면체는 정사각형 6개로 이루어져 있으니 $S(x)=6x^2$ 이에요.
2
변화율을 구해요. 길이가 조금 늘어날 때 겉넓이가 늘어나는 비율은 도함수 $S'(x)=12x$ 예요.
3
순변화량 = 변화율의 정적분이에요. $\int_s^{2s}12x\,dx=\Big[6x^2\Big]_s^{2s}=6(2s)^2-6s^2=24s^2-6s^2=18s^2$
4
확인해요. 처음 겉넓이는 $6s^2$ , 나중 겉넓이는 $6(2s)^2=24s^2$ 이므로 차이는 $18s^2$ 로 같아요.

답

$\displaystyle\int_s^{2s}12x\,dx=18s^2$

자주 하는 실수

겉넓이를 부피 공식 $x^3$ 과 헷갈리거나 $6$ 을 곱하는 것을 잊어 $3s^2$ 같은 값을 쓰는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$18{s}^{2}=6{\int }_{s}^{2s}2xdx$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.4절 · 23번

원 모양의 넓이 $A(t)$ 가 일정한 비율로 커지고 있습니다. 시각 $t=2$ 부터 $t=3$ 까지 넓이가 $4\pi$ 에서 $9\pi$ 로 늘어날 때, 이 시간 동안 반지름의 순변화량을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

반지름이 $1$ 만큼 증가해요(순변화량 $=1$ ).

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

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