여러 가지 함수의 적분 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.4절 · 3번

OpenStax 1권 · 5.4절 · 3번우리말 풀이

기본 적분 공식을 이용하여 다음 부정적분 또는 정적분을 계산하세요.

$\int\frac{dx}{2x}$

영어 원문 보기

Use basic integration formulas to compute the following antiderivatives or definite integrals.

$\int \frac{dx}{2x}$

풀이 보기

상수 $\frac12$ 을 적분 밖으로 꺼내면 $\int\frac1x dx=\ln|x|$ 를 쓸 수 있어요.

1
$\frac{1}{2x}=\frac12\cdot\frac1x$ 이므로 상수배를 앞으로 꺼내요. $\int\frac{dx}{2x}=\frac12\int\frac1x\,dx$ 예요.
2
$\int\frac1x\,dx=\ln|x|+C$ 이므로 $\frac12\ln|x|+C$ 예요. $x$ 가 음수일 수도 있으므로 절댓값을 붙여요.

답

$\frac12\ln|x|+C$

자주 하는 실수

$2x$ 를 한 덩어리로 보고 $\ln|2x|$ 로 쓴 뒤 $2$ 를 곱하지 않는 등 계수를 틀려요. (상수는 $C$ 에 흡수되지만 앞의 $\frac12$ 은 남아요.)

원본 교재 풀이(영어)

$\int \frac{dx}{2x}=\frac{1}{2}\ln |x|+C$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.6절 · 60번우리말 번역

다음 문제에서 $a\le x\le b$ 일 때 $f(x)\ge 0$ 이다. 적분하여 주어진 값 a 와 b 사이에서 $f(x)$ 의 그래프 아래 넓이를 구하세요.

$0<a\le b$ 일 때 ${\int }_{a}^{b}\frac{dt}{t}={\int }_{1/b}^{1/a}\frac{dt}{t}$ 임을 보이세요.

다 풀었으면 정답 확인

${\int }_{a}^{b}\frac{dx}{x}=\ln (b)-\ln (a)=\ln \left(\frac{1}{a}\right)-\ln \left(\frac{1}{b}\right)={\int }_{1/b}^{1/a}\frac{dx}{x}$