여러 가지 함수의 적분 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.6절 · 60번

OpenStax 1권 · 5.6절 · 60번우리말 번역

다음 문제에서 $a\le x\le b$ 일 때 $f(x)\ge 0$ 이다. 적분하여 주어진 값 a 와 b 사이에서 $f(x)$ 의 그래프 아래 넓이를 구하세요.

$0<a\le b$ 일 때 ${\int }_{a}^{b}\frac{dt}{t}={\int }_{1/b}^{1/a}\frac{dt}{t}$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, $f(x)\ge 0$ for $a\le x\le b.$ Find the area under the graph of $f(x)$ between the given values a and b by integrating.

Show that ${\int }_{a}^{b}\frac{dt}{t}={\int }_{1/b}^{1/a}\frac{dt}{t}$ when $0<a\le b.$

정답·풀이 보기

${\int }_{a}^{b}\frac{dx}{x}=\ln (b)-\ln (a)=\ln \left(\frac{1}{a}\right)-\ln \left(\frac{1}{b}\right)={\int }_{1/b}^{1/a}\frac{dx}{x}$

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{a}^{b}\frac{dx}{x}=\ln (b)-\ln (a)=\ln \left(\frac{1}{a}\right)-\ln \left(\frac{1}{b}\right)={\int }_{1/b}^{1/a}\frac{dx}{x}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.6절 · 64번우리말 번역

다음 문제들은 정의 $\ln (x)={\int }_{1}^{x}\frac{dt}{t}$ 에서 출발하여, 정적분의 성질을 이용하고 다른 가정은 하지 않은 채 자연로그의 기본 성질을 유도하기 위한 것이다.

항등식 $\ln (x)={\int }_{1}^{x}\frac{dt}{t}$ 를 이용하여 항등식 $\ln \left(\frac{1}{x}\right)=-\ln x$ 를 유도하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$x>1,\text{따라서}\,\frac{1}{x}<1$ 이라고 가정해도 된다. 그러면 ${\int }_{1}^{1/x}\frac{dt}{t}$ 이다. 이제 $u=\frac{1}{t}$ 로 치환하면 $du=-\frac{dt}{{t}^{2}}$ 이고 $\frac{du}{u}=-\frac{dt}{t}$ 이며, 적분 구간의 끝점을 바꾸면 ${\int }_{1}^{1/x}\frac{dt}{t}=-{\int }_{1}^{x}\frac{du}{u}=-\ln x$ 이다.

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