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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 적분법

치환적분법

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 1권 · 5.5절 · 48번우리말 번역

다음 문제에서 uu-치환을 이용하여 상수 C=0C=0 인 부정적분 ∫f(x)dx\int f(x)dx 의 값을 구하세요. 그런 다음 주어진 구간에서 함수와 그 부정적분의 그래프를 그리세요. 가능하다면, 부정적분이 정적분 F(x)=∫axf(t)dtF(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt 와 같아지도록 부정적분에 더해야 하는 C 의 값을 어림하세요. 여기서 a 는 주어진 구간의 왼쪽 끝점입니다.

[계산기 사용] ∫sin⁡xcos⁡3xdx\int \frac{\sin x}{{\cos }^{3}x}dx, 구간 [−π3,π3]\left[-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}\right]

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the indefinite integral ∫f(x)dx\int f(x)dx with constant C=0C=0 using u-substitution. Then, graph the function and the antiderivative over the indicated interval. If possible, estimate a value of C that would need to be added to the antiderivative to make it equal to the definite integral F(x)=∫axf(t)dt,F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt, with a the left endpoint of the given interval.

[T] ∫sin⁡xcos⁡3xdx\int \frac{\sin x}{{\cos }^{3}x}dx over [−π3,π3]\left[-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}\right]

정답·풀이 보기

그래프 두 개이다. 첫 번째 그래프는 구간 (-5pi/16, 5pi/16) 에서 함수 f(x) = sin(x) / cos(x)^3 의 그래프이다. 0보다 작은 값에서는 증가하면서 위로 볼록하고, 0보다 큰 값에서는 증가하면서 아래로 볼록하다. 두 번째 그래프는 같은 구간에서 함수 f(x) = ½ sec(x)^2 의 그래프이다. 폭이 넓고 아래로 볼록한 곡선이며, 0보다 작은 값에서는 감소하고 0보다 큰 값에서는 증가한다.

부정적분은 y=12sec⁡2xy=\frac{1}{2}{\sec }^{2}x 이다. F(−π3)=0F\left(-\frac{\pi }{3}\right)=0 이 되도록 C=−2C=-2 로 잡아야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

Two graphs. The first is the function f(x) = sin(x) / cos(x)^3 over (-5pi/16, 5pi/16). It is an increasing concave down function for values less than zero and an increasing concave up function for values greater than zero. The second is the fuction f(x) = ½ sec(x)^2 over the same interval. It is a wide, concave up curve which decreases for values less than zero and increases for values greater than zero.

The antiderivative is y=12sec⁡2x.y=\frac{1}{2}{\sec }^{2}x. You should take C=−2C=-2 so that F(−π3)=0.F\left(-\frac{\pi }{3}\right)=0.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.4절 · 15번우리말 번역

∫elog⁡x2xlog⁡x dx\displaystyle\int \dfrac{e^{\sqrt{\log x}}}{2x\sqrt{\log x}}\ \mathrm{d}x 의 값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인
  • 풀이 1: u=log⁡x u=\sqrt{\log x} 로 놓으면 du=12xlog⁡x dx \mathrm{d}u=\dfrac{1}{2x\sqrt{\log x}}\ \mathrm{d}x 이므로,

∫elog⁡x2xlog⁡x dx=∫eredu du=eu+C=elog⁡x+C\begin{aligned} \int \dfrac{e^{ \sqrt{\log x}}}{ 2x\sqrt{\log x}}\ \mathrm{d}x&=\int e^{{red}u}\ \mathrm{d}u=e^u+C=e^{\sqrt{\log x}}+C \end{aligned}

  • 풀이 2: 풀이 1에서는 꽤 영리한 치환을 택했다. 그보다 조금 덜 편리한 방법으로 풀 수도 있다. 예를 들어 u=log⁡x u=\log x, du=1x dx \mathrm{d}u=\dfrac{1}{x}\ \mathrm{d}x 로 놓는 것이 좋은 선택이라고 생각하는 것도 자연스럽다. 이 경우:

∫elog⁡x2xlog⁡x dx=∫eredu2reduduNow, we should be able to see that w=u, dw=12u du is a good choice:∫eu2u du=∫eorangew dw=eu+C=elog⁡x+C\begin{aligned} \int \dfrac{e^{\sqrt{ \log x}}}{2 x\sqrt{ \log x}}\ \mathrm{d}x&= \int \frac{e^{\sqrt{{red}u}}}{2\sqrt{{red}u}} \mathrm{d}u \\ \text{Now, we should be able to see that $ w=\sqrt{u}$, $ \mathrm{d}w = \dfrac{1}{2\sqrt{u}}\ \mathrm{d}u$ is a good choice:} \\ \int\frac{e^{ \sqrt{u}}}{ 2\sqrt{u}}\ \mathrm{d}u &=\int e^{{orange}w}\ \mathrm{d}w\\ &=e^{\sqrt{u}}+C\\ &=e^{\sqrt{\log x}}+C \end{aligned}

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# 치환적분법그래프·표 해석자동 분류
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