빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 적분의 활용

함수의 평균값

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 1권 · 5.5절 · 60번우리말 풀이

구간 [a,b][a,b] 에서 f(x)f(x) 의 평균값이, c>0c>0 일 때 구간 [ac,bc]\left[\frac{a}{c},\frac{b}{c}\right] 에서 f(cx)f(cx) 의 평균값과 같음을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that the average value of f(x)f(x) over an interval [a,b][a,b] is the same as the average value of f(cx)f(cx) over the interval [ac,bc]\left[\frac{a}{c},\frac{b}{c}\right] for c>0.c>0.

풀이 보기

평균값 정의에 u=cxu=cx 로 치환하면 구간의 길이와 dudu 의 cc 가 서로 상쇄돼요.

  1. 1

    왜 이렇게 할까요? 구간 [p,q][p,q] 에서 gg 의 평균값은 1q−p∫pqg(x) dx\frac{1}{q-p}\int_p^q g(x)\,dx 예요. 이 정의대로 f(cx)f(cx) 의 평균값을 쓰고, 치환으로 ff 의 평균값과 같아지는지 확인해요.

  2. 2

    평균값을 식으로 써요. f(cx)f(cx) 를 구간 [ac,bc]\left[\frac ac,\frac bc\right] 에서 평균하면 1bc−ac∫a/cb/cf(cx) dx\frac{1}{\frac bc-\frac ac}\int_{a/c}^{b/c}f(cx)\,dx 이고, 앞의 분모는 b−ac\frac{b-a}{c} 이므로 계수는 cb−a\frac{c}{b-a} 예요.

  3. 3

    치환해요. u=cxu=cx 로 놓으면 du=c dxdu=c\,dx, 즉 dx=ducdx=\frac{du}{c} 이고, x=acx=\frac ac 이면 u=au=a, x=bcx=\frac bc 이면 u=bu=b 예요.

  4. 4

    정리해요. cb−a∫abf(u)duc=1b−a∫abf(u) du\frac{c}{b-a}\int_{a}^{b}f(u)\frac{du}{c}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(u)\,du 이것은 구간 [a,b][a,b] 에서 ff 의 평균값이에요. 따라서 두 평균값이 같아요. ■\blacksquare

답

증명 완료: 1bc−ac∫a/cb/cf(cx)dx=1b−a∫abf(u)du\dfrac{1}{\frac bc-\frac ac}\displaystyle\int_{a/c}^{b/c}f(cx)dx=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(u)du

자주 하는 실수

치환한 뒤 dx=ducdx=\frac{du}{c} 의 cc 를 빼먹거나, 적분 구간을 uu 값으로 바꾸지 않아요.

원본 교재 풀이(영어)

Setting u=cxu=cx and du=cdxdu=cdx gets you 1bc−ac∫a/cb/cf(cx)dx=cb−a ∫u=au=bf(u)duc=1b−a∫abf(u)du.\frac{1}{\frac{b}{c}-\frac{a}{c}}{\int }_{a/c}^{b/c}f(cx)dx=\frac{c}{b-a}\,{\int }_{u=a}^{u=b}f(u)\frac{du}{c}=\frac{1}{b-a}{\int }_{a}^{b}f(u)du.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 2.2절 · 14번우리말 번역

어느 지역의 1년 동안 공기 중 이산화탄소 농도는 C(t)=400+50cos⁡(t12π)+200cos⁡(t4380π)C(t) = 400+50\cos\left(\frac{t}{12}\pi\right)+200\cos\left(\frac{t}{4380}\pi\right) 백만분율(ppm)로 근사된다. 여기서 tt는 시간 단위로 측정한다.

(a) 그 지역의 그해 평균 이산화탄소 농도는 얼마입니까? (b) 첫째 날의 평균 농도는 얼마입니까? (c) 측정을 매일 정오에만 했다고 하자. 즉 t=12+24nt=12+24n 일 때만 측정했고, 여기서 nn은 0 이상 364 이하의 임의의 정수이다. 그러면 하루 중의 변화는 사라진다: 50cos⁡((12+24n)12π)=50cos⁡(π+2πn)=50cos⁡π=−5050\cos\left(\frac{(12+24n)}{12}\pi\right) = 50\cos\left(\pi+2\pi n\right) = 50\cos\pi=-50. 따라서 대기 중 이산화탄소 농도의 근삿값은 다음과 같이 나타낼 수 있다. N(t)=350+200cos⁡(t4380π) ppmN(t) = 350 +200\cos\left(\frac{t}{4380}\pi\right)\quad\text{ ppm} C(t)C(t) 대신 N(t)N(t)를 사용할 때 연평균 이산화탄소 농도에 생기는 상대오차는 얼마입니까?

하루는 정확히 24시간, 1년은 정확히 8760시간이라고 가정해도 됩니다.

다 풀었으면 정답 확인

문제에 답하기 전에 주어진 함수를 조금 더 자세히 살펴보자. 항 50cos⁡(t12π)50\cos\left(\frac{t}{12}\pi\right)의 주기는 24시간이고, 항 200cos⁡(t4380π)200\cos\left(\frac{t}{4380}\pi\right)의 주기는 1년이다. 따라서 앞의 항은 하루 중의 일반적인 변화를 나타내고, 뒤의 항은 1년에 걸친 계절별 변화를 나타낸다.

(a) 평균의 정의를 이용하면, 1년(t=0t=0부터 87608760까지) 동안의 평균 농도는 다음과 같다.

18760∫08760(400+50cos⁡(t12π)+200cos⁡(t4380π)) dt=18760∫08760400 dt+508760∫08760cos⁡(t12π) dt+2008760∫08760cos⁡(t4380π) dt=400+5876[12πsin⁡(t12π)]08760+5219[4380πsin⁡(t4380π)]08760876012=730은 짝수이므로 sin⁡(876012π)=sin⁡(0)=0이다. 또한 sin⁡(87604380π)=sin⁡(2π)=0이다. =400+5876(0)+5219(0)=400 ppm\begin{aligned} &\frac{1}{8760}\int_0^{8760}\left(400+ 50\cos\left(\frac{t}{12}\pi\right)+ 200\cos\left(\frac{t}{4380}\pi\right)\right)\,\mathrm{d}t\\ &=\frac{1}{8760}\int_0^{8760}400\,\mathrm{d}t + \frac{50}{8760}\int_0^{8760}\cos\left(\frac{t}{12}\pi\right)\,\mathrm{d}t + \frac{200}{8760}\int_0^{8760}\cos\left(\frac{t}{4380}\pi\right)\,\mathrm{d}t\\ &= 400 + \frac{5}{876}\left[\frac{12}{\pi}\sin\left(\frac{t}{12}\pi\right)\right]_0^{8760}+ \frac{5}{219}\left[\frac{4380}{\pi}\sin\left(\frac{t}{4380}\pi\right)\right]_0^{8760} \\ \text{$\frac{8760}{12} = 730$은 짝수이므로 $\sin\left(\frac{8760}{12}\pi\right)=\sin(0)=0$이다. 또한 $\sin\left(\frac{8760}{4380}\pi\right)=\sin(2\pi)=0$이다. } \\ &=400+ \frac{5}{876}(0) + \frac{5}{219}(0)\\ &=400\quad\text{ ppm} \end{aligned}

참고: 적분에서 빨간색과 파란색으로 표시된 부분은, 피적분함수가 정수 번의 주기를 지난다는 점에 주목해도 된다. 한 주기마다 곡선과 xx축 사이의 부호 있는 넓이의 합은 0이므로, 처음부터 이 항들이 최종 평균에 0을 더한다는 것을 알 수 있다.

(b) 평균의 정의를 이용하면, 첫째 날(t=0t=0부터 t=24t=24까지) 동안의 평균 농도는 다음과 같다.

124∫024(400+50cos⁡(t12π)+200cos⁡(t4380π)) dt=124∫024400 dt+5024∫024cos⁡(t12π) dt+20024∫024cos⁡(t4380π) dtt=0부터 t=24까지는 빨간색 피적분함수의 꼭 한 주기이므로 빨간색 적분의 값은 0이다. 그러나 t=0부터 t=24까지는 파란색 피적분함수의 한 주기보다 짧으므로, 이 항은 평균에 0이 아닌 값을 더할 것으로 예상할 수 있다.=400+0+20024[4380πsin⁡(t4380π)]024=400+253⋅4380πsin⁡(244380π)=400+253⋅4380πsin⁡(2365π)≈400+199.99=599.99 ppm\begin{aligned} &\frac{1}{24}\int_0^{24} \left(400+ 50\cos\left(\frac{t}{12}\pi\right)+ 200\cos\left(\frac{t}{4380}\pi\right)\right)\,\mathrm{d}t\\ &=\frac{1}{24}\int_0^{24}400\,\mathrm{d}t + \frac{50}{24}\int_0^{24}\cos\left(\frac{t}{12}\pi\right)\,\mathrm{d}t+ \frac{200}{24}\int_0^{24}\cos\left(\frac{t}{4380}\pi\right)\,\mathrm{d}t \\ \text{$t=0$부터 $t=24$까지는 빨간색 피적분함수의 꼭 한 주기이므로 빨간색 적분의 값은 0이다. 그러나 $t=0$부터 $t=24$까지는 파란색 피적분함수의 한 주기보다 \textit{짧으므로}, 이 항은 평균에 0이 아닌 값을 더할 것으로 예상할 수 있다.} \\ &=400+ 0 + \frac{200}{24}\left[\frac{4380}{\pi}\sin\left(\frac{t}{4380}\pi\right)\right]_0^{24}\\ &=400+\frac{25}{3}\cdot\frac{4380}{\pi}\sin\left(\frac{24}{4380}\pi\right)\\ &=400+\frac{25}{3}\cdot\frac{4380}{\pi}\sin\left(\frac{2}{365}\pi\right)\\ &\approx 400+199.99\\ &=599.99 \quad\text{ ppm} \end{aligned}

참고: C(0)=400+50+200C(0) = 400+ 50+ 200이다. 빨간색 항은 하루 중의 변화에서 나오며, 첫째 날 동안 이 항의 평균은 0이다. 파란색 항은 계절별 변화에서 나오는데, 이는 1년 전체에 걸쳐서는 크게 변하지만 하루 동안에는 그다지 많이 변하지 않는다. 따라서 첫째 날의 평균 농도가 (정확히는 아니지만) 400+200400+200 ppm에 가까운 것은 타당하다.

(c) [0,8760][0,8760]에서 N(t)N(t)의 평균은 다음과 같다.

18760∫08760(350+200cos⁡(t4380π)) dt=350+2008760[4380πsin⁡(t4380π)]08760=350+2008760[4380πsin⁡(87604380π)]=350+100πsin⁡(2π)=350\begin{aligned} \frac{1}{8760}\int_0^{8760} \left ( 350+200\cos\left(\frac{t}{4380}\pi\right)\right)\,\mathrm{d}t&=350 + \frac{200}{8760}\bigg[\frac{4380}{\pi}\sin\left(\frac{t}{4380}\pi\right)\bigg]_0^{8760} \\&=350+\frac{200}{8760}\left[\frac{4380}{\pi}\sin\left(\frac{8760}{4380}\pi\right)\right]\\ &=350+\frac{100}{\pi}\sin\left(2\pi\right)\\&=350 \end{aligned}

C(t)C(t)의 평균이 400이었으므로, 절대오차는 ∣400−350∣=50|400-350|=50 ppm이고 상대오차는 50400=0.125,\frac{50}{400} = 0.125, 즉 12.5%이다.

다시 말해, 하루 중 계속 측정하지 않고 매일 같은 시각에 측정하면 연평균 이산화탄소 농도에 12.5%의 오차가 생긴다.

이 문제로 이어서 풀기
# 함수의 평균값증명·논술보통

「함수의 평균값」 문제 목록으로