여러 가지 함수의 적분 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.6절 · 24번

OpenStax 1권 · 5.6절 · 24번우리말 풀이

다음 문제에서 $\int \ln x\,dx=x(\ln x-1)+C$ 임을 미분으로 확인한 다음, 알맞게 변수를 바꾸어 적분을 계산하세요.

$\int {x}^{2}\text{ln(}{x}^{2})\,dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, verify by differentiation that $\int \ln x\,dx=x(\ln x-1)+C,$ then use appropriate changes of variables to compute the integral.

$\int {x}^{2}\text{ln(}{x}^{2})\,dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

풀이 보기

$u=x^3$ 으로 치환하면 $x^2dx$ 가 $\frac{du}{3}$ 이 되고, 이미 아는 $\int\ln u\,du$ 로 바뀌어요.

1
먼저 주어진 공식을 확인해요. $\frac{d}{dx}\left[x(\ln x-1)\right]=(\ln x-1)+x\cdot\frac1x=\ln x$ 이므로 $\int\ln x\,dx=x(\ln x-1)+C$ 가 맞아요.
2
로그를 정리해요. ( $x>0$ 으로 생각해요.) $\ln(x^2)=2\ln x$ 이고, $x^3=u$ 로 두면 $\ln x=\frac13\ln u$ 예요. 그래서 $x^2\ln(x^2)=2x^2\ln x=\frac{2}{3}\,x^2\ln u$
3
치환해요. $u=x^3$ 이면 $du=3x^2dx$ , 즉 $x^2dx=\frac{du}{3}$ 이에요. $\int x^2\ln(x^2)\,dx=\int 2\cdot\frac{1}{3}\ln u\cdot\frac{du}{3}=\frac{2}{9}\int\ln u\,du$
4
공식을 써요. $\frac29\int\ln u\,du=\frac29\,u(\ln u-1)+C$
5
$x$ 로 되돌려요. $u=x^3$ 이므로 $\frac{2}{9}x^3\left(\ln(x^3)-1\right)+C$ 로 정리돼요. (직접 부분적분으로 풀어도 $\frac23x^3\ln x-\frac29x^3+C$ 로 같은 식이에요.)

답

$\dfrac{2}{9}x^3\left(\ln(x^3)-1\right)+C$

자주 하는 실수

$\ln(x^2)$ 의 지수 2 를 앞으로 빼는 것을 잊거나, 치환 후 $dx$ 를 $\frac{du}{3}$ 로 바꾸는 것을 빼먹어요.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{2}{9}{x}^{3}(\ln ({x}^{3})-1)+C$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.6절 · 56번

다음 문제에서 구간 $a\le x\le b$ 에서 $f(x)\ge 0$ 이에요. 주어진 값 $a$ , $b$ 에 대해 $f(x)$ 의 그래프 아래의 넓이를 적분으로 구하세요.

$f(x)={2}^{-x};a=3,b=4$

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$\dfrac{1}{16\ln 2}=\dfrac{1}{\ln(65536)}$

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

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