여러 가지 함수의 적분 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.6절 · 56번

OpenStax 1권 · 5.6절 · 56번우리말 풀이

다음 문제에서 구간 $a\le x\le b$ 에서 $f(x)\ge 0$ 이에요. 주어진 값 $a$ , $b$ 에 대해 $f(x)$ 의 그래프 아래의 넓이를 적분으로 구하세요.

$f(x)={2}^{-x};a=3,b=4$

영어 원문 보기

In the following exercises, $f(x)\ge 0$ for $a\le x\le b.$ Find the area under the graph of $f(x)$ between the given values a and b by integrating.

$f(x)={2}^{-x};a=3,b=4$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$\int a^x dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$ 이므로 $2^{-x}$ 의 부정적분은 $-\frac{2^{-x}}{\ln 2}$ 예요.

1
왜 이렇게 할까요? 그래프 아래의 넓이는 정적분 $\int_3^4 2^{-x}dx$ 의 값이에요. 먼저 부정적분을 구해요.
2
부정적분. $2^{-x}=\left(\frac12\right)^x$ 이므로 $\int 2^{-x}dx=-\frac{2^{-x}}{\ln2}+C$ 예요. 미분하면 $-\frac{2^{-x}\cdot(-\ln 2)}{\ln 2}=2^{-x}$ 로 맞아요.
3
위끝과 아래끝을 넣어요. $\left[-\frac{2^{-x}}{\ln2}\right]_3^4=-\frac{2^{-4}}{\ln2}+\frac{2^{-3}}{\ln2}=\frac{1}{\ln2}\left(\frac18-\frac1{16}\right)=\frac{1}{16\ln2}$
4
원본 답과 같은 꼴로 바꿔요. $65536=2^{16}$ 이므로 $\ln(65536)=16\ln2$ 이고 $\frac{1}{16\ln2}=\frac{1}{\ln(65536)}$

답

$\dfrac{1}{16\ln 2}=\dfrac{1}{\ln(65536)}$

자주 하는 실수

$2^{-x}$ 의 부정적분에서 음수 부호를 빼먹어 $\frac{2^{-x}}{\ln 2}$ 로 써요.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{\ln (65,536)}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.4절 · 3번

기본 적분 공식을 이용하여 다음 부정적분 또는 정적분을 계산하세요.

$\int\frac{dx}{2x}$

다 풀었으면 정답 확인

$\frac12\ln|x|+C$