여러 가지 함수의 적분 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.6절 · 40번

OpenStax 1권 · 5.6절 · 40번우리말 풀이

다음 문제에서 정적분의 값을 구하세요.

${\int }_{\pi /4}^{\pi /3}\cot x\,dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the definite integral.

${\int }_{\pi /4}^{\pi /3}\cot xdx$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ 이고 분자가 분모의 도함수이므로 $\ln|\sin x|$ 가 부정적분이에요.

1
왜 이렇게 할까요? $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ 로 쓰면, 분자 $\cos x$ 가 분모 $\sin x$ 의 도함수예요. 이런 꼴은 $\int\frac{g'(x)}{g(x)}dx=\ln|g(x)|+C$ 를 써요.
2
부정적분을 구해요. $\int\cot x\,dx=\ln|\sin x|+C$ (구간에서 $\sin x>0$ 이에요.)
3
위끝과 아래끝을 넣어요. $\Big[\ln\sin x\Big]_{\pi/4}^{\pi/3}=\ln\frac{\sqrt3}{2}-\ln\frac{\sqrt2}{2}$
4
로그의 성질로 합쳐요. $\ln\frac{\sqrt3/2}{\sqrt2/2}=\ln\sqrt{\frac32}=\frac12\ln\frac32$

답

$\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{3}{2}$

자주 하는 실수

$\cot x$ 의 적분을 $-\ln|\cos x|$ 나 $\ln|\cos x|$ 로 헷갈려요. (그건 $\tan x$ 쪽이에요.)

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{2}\ln \,\frac{3}{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.3절 · 40번

다음 문제에서 미적분의 기본정리 2부를 이용하여 각 정적분의 값을 구하세요.

$\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta$

다 풀었으면 정답 확인

$1$