여러 가지 함수의 적분 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.6절 · 64번

OpenStax 1권 · 5.6절 · 64번우리말 번역

다음 문제들은 정의 $\ln (x)={\int }_{1}^{x}\frac{dt}{t}$ 에서 출발하여, 정적분의 성질을 이용하고 다른 가정은 하지 않은 채 자연로그의 기본 성질을 유도하기 위한 것이다.

항등식 $\ln (x)={\int }_{1}^{x}\frac{dt}{t}$ 를 이용하여 항등식 $\ln \left(\frac{1}{x}\right)=-\ln x$ 를 유도하세요.

영어 원문 보기

The following exercises are intended to derive the fundamental properties of the natural log starting from the definition $\ln (x)={\int }_{1}^{x}\frac{dt}{t},$ using properties of the definite integral and making no further assumptions.

Use the identity $\ln (x)={\int }_{1}^{x}\frac{dt}{t}$ to derive the identity $\ln \left(\frac{1}{x}\right)=-\ln x.$

정답·풀이 보기

$x>1,\text{따라서}\,\frac{1}{x}<1$ 이라고 가정해도 된다. 그러면 ${\int }_{1}^{1/x}\frac{dt}{t}$ 이다. 이제 $u=\frac{1}{t}$ 로 치환하면 $du=-\frac{dt}{{t}^{2}}$ 이고 $\frac{du}{u}=-\frac{dt}{t}$ 이며, 적분 구간의 끝점을 바꾸면 ${\int }_{1}^{1/x}\frac{dt}{t}=-{\int }_{1}^{x}\frac{du}{u}=-\ln x$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

We may assume that $x>1,\text{so}\,\frac{1}{x}<1.$ Then, ${\int }_{1}^{1/x}\frac{dt}{t}.$ Now make the substitution $u=\frac{1}{t},$ so $du=-\frac{dt}{{t}^{2}}$ and $\frac{du}{u}=-\frac{dt}{t},$ and change endpoints: ${\int }_{1}^{1/x}\frac{dt}{t}=-{\int }_{1}^{x}\frac{du}{u}=-\ln x.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.6절 · 70번우리말 번역

[계산기 사용] 확률에서 정규분포는 $p(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-{(x-\mu )}^{2}/2{\sigma }^{2}}$ 으로 주어집니다. 여기서 σ 는 표준편차이고 μ 는 평균입니다. 확률에서 표준정규분포 ${p}_{s}$ 는 $\mu =0\,\text{그리고}\,\sigma =1$ 인 경우에 해당합니다. ${\int }_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{{x}^{2}}{2}}dx$ 의 오른쪽 끝점 어림값 ${R}_{10}\,\text{와}\,{R}_{100}$ 을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

${R}_{10}=0.6811,{R}_{100}=0.6827$

함수 f(x) = .5 * ( √2 * e^(-.5x^2) ) / √π 의 그래프이다. 위로 볼록한(아래로 열린) 곡선으로 y축에 대해 대칭이며, y축과 대략 (0, .4)에서 만난다. x가 양의 무한대와 음의 무한대로 갈 때 곡선은 0에 가까워진다. -1과 1 사이에는 곡선 아래 넓이를 오른쪽 끝점으로 어림하기 위해 직사각형 10개가 그려져 있다.

이 문제로 이어서 풀기

# 여러 가지 함수의 적분계산자동 분류