역삼각함수가 나오는 적분 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.7절 · 19번

OpenStax 1권 · 5.7절 · 19번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 $C=0$ 으로 하여 f 의 부정적분 $\int f$ 를 구한 다음, 계산기를 사용하여 주어진 구간 $[a,b]$ 에서 f 와 그 부정적분의 그래프를 그리세요. 부정적분에 C 를 더했을 때 정적분 $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt$ 가 되도록 하는 C 의 값을 구하세요.

[계산기 사용] $\int \frac{\cos x}{4+{\sin }^{2}x}dx$ , 구간 $[-6,6]$

영어 원문 보기

In the following exercises, solve for the antiderivative $\int f$ of f with $C=0,$ then use a calculator to graph f and the antiderivative over the given interval $[a,b].$ Identify a value of C such that adding C to the antiderivative recovers the definite integral $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt.$

[T] $\int \frac{\cos x}{4+{\sin }^{2}x}dx$ over $[-6,6]$

정답·풀이 보기

그래프 두 개이다. 첫 번째 그래프는 함수 f(x) = cos(x) / (4 + sin(x)^2) 를 나타낸다. 구간 (-6, 6) 에서 진동하는 함수이며, 방향이 바뀌는 점(전환점)이 대략 (-3, -2.5), (0, .25), (3, -2.5) 에 있다. 이 중 (0,.25) 는 극댓값, 나머지는 극솟값이다. 두 번째 그래프는 함수 F(x) = .5 * arctan(.5*sin(x)) 를 나타내며, 이 역시 구간 (-6,6) 에서 진동한다. 꺾이는 점(전환점)은 대략 (-4.5, .25), (-1.5, -.25), (1.5, .25), (4.5, -.25) 에 있다.

부정적분은 $\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\left(\frac{\sin x}{2}\right)+C$ 이다. $C=\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\left(\frac{\sin (6)}{2}\right)$ 로 놓으면 정적분이 된다.

원본 교재 풀이(영어)

The antiderivative is $\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\left(\frac{\sin x}{2}\right)+C.$ Taking $C=\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\left(\frac{\sin (6)}{2}\right)$ recovers the definite integral.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.7절 · 27번우리말 번역

다음 문제에서 계산기를 사용하여, 주어진 구간 $[a,b]$ 에서 $C=0$ 인 부정적분 $\int f$ 의 그래프를 그리세요. 가능하다면, 부정적분에 C 를 더한 값이 정적분 $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt$ 의 값과 같아지도록 C 의 값을 어림하세요.

[계산기 사용] $\int \frac{1}{x\sqrt{{x}^{2}-4}}dx$ , 구간 $[2,6]$

다 풀었으면 정답 확인

제4사분면에 있는 함수 f(x) = -.5 * 아크탄젠트(2 / (√(x^2 – 4)))의 그래프이다. 이 그래프는 증가하며 위로 볼록한 곡선이고, x=2 에서 수직 점근선을 가진다.

부정적분은 $\frac{1}{2}{\sec }^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)+C$ 이다. $C=0$ 으로 잡으면 $[2,6]$ 에서의 정적분과 같은 값이 된다.

이 문제로 이어서 풀기

# 역삼각함수가 나오는 적분그래프·표 해석자동 분류